Cikloidno zupčanje

Krugovi ρ₁ i ρ₂ ujedno su i izvodni krugovi, pošto se prema njima grafičkim putem određuju profili zubaca.

Konstrukcija cikloidnog profila vrši se na taj način što se, počev od tačke C, nanese na izvodnim i dodirnim krugovima izvestan broj jednakih delova, sl. 19. Pri kotrljanju izvodnog kruga po dodirnom dodirivaće se međusobno tačke »1'« i »1"«, »2'« i »2"«, »3'« i »3"« .....i u svakom od ovih položaja izvodni krug će preseći odgovarajući koncentrični krug iz središta O₁ u tački koja pripada epicikloidi. Brže iznalaženje tačaka postiže se presecanjem kružnih lukova poluprečnika O₁1", O₁2", O₁3"... iz središta O₁ sa kružnim lukovima poluprečnika C1", C2", C3"... iz središta »1'«, »2'«, »3'«..... Tako npr. tačka »4« profila leži u preseku kružnog luka poluprečnika O₁4" oko središta O₁ i luka poluprečnika C4" iz tačke 4'. Dužine 1'1, 2'2, 3'3... predstavljaju normale u tačkama epicikloidnog profila, a tačke »1'«, »2'«, »3'«... su središta poluprečnika krivine za tačke »1«, »2«, »3« ..... (sl. 19).

Slika 19

Pri obrtanju zupčanika u smeru strelice kotrljaće se dodirni krugovi jedan po drugom i njihove podeone tačke sastavljaće se redom u tački C; pri tome normale na profil naći će se u položajima C1₀, C2₀, C3₀... Kako ove normale prolaze kroz tačku C, a njihova podnožja nalaze se u tačkama »1₀«, »2₀«, »3₀«..., od kojih je svaka ujedno i trenutna dodirna tačka epicikloidnog profila, ovaj deo izvodnog kruga, tj. luk C 1₀ 2₀ 3₀ 4₀, pripada dodirnici.

Slika 20. predstavlja primer određivanja profila zubaca spregnutih zupčanika, kod kojih je m=14, z₁=18, z₂=12. Prečnici dodirnih odnosno podeonih krugova izračunavaju se iz modula i broja zubaca z₁ odnosno z₂:

$D_1=m \ z_1=14 \cdot 18=252 \ mm$

$D_2=m \ z_2=14 \cdot 12=168 \ mm$

$R_1=\frac{D_1}{2}=\frac{252}{2}=126mm$

$R_2=\frac{D_2}{2}=\frac{168}{2}=84mm$

Sada se izaberu poluprečnici izvodnih krugova; približno se uzima ρ₁=R₁/3, ρ₂=R₂/3. Za gornji primer ovo iznosi:

$\rho_1 =\frac{126}{3}=42mm; \quad \rho_2 =\frac{84}{3}=28mm$

Slika 20

Pri kotrljanju izvodnog kruga poluprečnika ρ₂ ulevo po podeonom krugu poluprečnika R₁ dobija se epicikloida CE₁. Deo ove epicikloide predstavlja profil glave zupca prvog (I) točka. Profil korena istog zupčanika je deo hipocikloide CH₁, koja se dobija pri kotrljanju udesno izvodnog kruga ρ₁ unutar deonog kruga R₁.

Odgovarajući profil zupca II zupčanika dobije se kotrljanjem izvodnih krugova ρ₁ i ρ₂ po podeonom krugu R₂, tako da se pri kotrljanju izvodnog kruga ρ₁ po podeonom krugu R₂ dobije epicikloida CE₂ a pri kotrljanju kruga ρ₂ po krugu R₂ - hipocikloida CH₂.

Određivanje pojedinih tačaka profila zasniva se u celosti na prethodnom izlaganju. Na podeonim i izvodnim krugovima nanese se, počev od tačke C, izvestan broj jednakih delova, a zatim se kroz podeone tačke izvodnih krugova crtaju koncentrični krugovi iz O₁, odnosno O₂, i u preseku ovih krugova sa normalama na bok zupca u odgovarajućim tačkama leže tačke profila. Tako npr. da se dobije tačka 3" glave zupca I zupčanika, treba opisati luk poluprečnika O₁3' oko središta O₁ kroz tačku 3', zatim poluprečnikom C3' - luk oko tačke 3; u secištu ovih lukova leži tačka 3" epicikloide CE₁. Slično tome npr. tačka 5"₁ korena zupca leži u secištu luka poluprečnika O₁5'₁ oko O₁ i luka poluprečnika C5'₁ oko 5₁; ova tačka pripada hipocikloidi CH₁. Na isti način se određuje i profil E₂H₂ drugog (II) zupčanika.

Nakon toga se na podeonim krugovima nanese korak »t«, odnosno debljina zupca »s« i širina međuzublja »e«, pa se kroz dobijene tačke ucrtaju profili tako da oba boka zupca budu podudarna s obzirom na simetralu zupca. Zatim se prema visini glave zupca (h₁=m) nacrta spoljašnji krug, a prema visini korena (h₂=1,2 m) - unutrašnji krug.

Kao što se iz slike vidi, bokovi cikloidnih zubaca sastoje se iz ispupčene glave i izdubljenog korena. Na taj način su radne površine zubaca međusobno dobro prilagođene, što je vrlo povoljno u pogledu prenosa sile i u pogledu smanjenja habanja zubaca. Ali pošto se krivina profila na podeonim krugovima menja, neophodno je potrebna velika tačnost sklapanja. Već i neznatne razlike u razmaku između osa zupčanika, prouzrokuju osetne smetnje u prenosu, jer da bi se ostvario pravilan prenos, podeoni krugovi moraju biti stalno u dodiru. Pored toga, da ne bi kod cikloidnih zubaca nastupile greške pri sprezanju, potrebna je naročito precizna izrada zubaca, što je teško, s obzirom na to da su bokovi glodala u ovom slučaju krivolinijski i stoga ne mogu da se izrade potpuno tačno prema teorijski potrebnom profilu zupca. Usled ovih nedostataka cikloidno zupčanje u opštem mašinstvu ima vrlo ograničenu praktičnu primjenu.

Za posmatrana dva spregnuta profila zahvat počinje u tački A dodirom korena zupca (tačka A₁) predajnog zupčanika sa vrhom zupca (tačka A₂) prijemnog zupčanika. Završetak zahvata je u tački B gde vrh predajnog zupčanika (tačka B₁) dodiruje koren zupca (tačka B₂) prijemnog točka. Pošto ispod tačke A₁, odnosno B₂, nema više zahvata, prelaz korena zupca u venac može biti ojačan, ali samo na takav način da ne ometa kretanje vrha zupca na ovom mjestu.

Kako su zupci izvana ograničeni spoljašnjim krugovima, početak i završetak zahvata nalazi se u preseku ovih krugova sa dodirnicom, tj. u tačkama A i B. Izvan spoljašnjih krugova nema zahvata i stoga se deo dodirnice između spoljašnjih krugova smatra korisnom dužinom dodirnice, - ona predstavlja putanju po kojoj se pomera profil boka zupca u toku dodirnog perioda. Dužina dodirnog luka $\stackrel{⌢}{AC}+\stackrel{⌢}{CB}$ može se meriti i na podeonim krugovima, gde će se moći uporediti sa korakom koji se takođe meri na podeonim krugovima.

U trenutku kada počinje zahvat u tački A, zupci svojim položajem određuju na podeonim krugovima tačke C₁ i C₂. Prva pripada boku zupca I zupčanika, a druga boku zupca II zupčanika. U trenutku završetka zahvata u tački B, zupci određuju na podeonim krugovima tačke D₁ i D₂. Pri kretanju zupčanika kotrljaju se podeoni krugovi jedan po drugom, a sa njima i tačke C₁ i C₂, koje će se u određenom trenutku sresti u tački C, a na kraju dodirnog perioda naći će se u položajima D₁ i D₂. Iz toga sledi da su odgovarajuće dužine lukova na putanji kotrljanja jednake:

$\stackrel{⌢}{C_{1}C}=\stackrel{⌢}{C_{2}C}$

i

$\stackrel{⌢}{C{D}_1}=\stackrel{⌢}{C{D}_2}$

Prema tome i za ukupnu dužinu dodirnog luka, merenu na podeonom krugu, važi:

$\stackrel{⌢}{C_{1}C{D}_1}=\stackrel{⌢}{C_{2}C{D}_2}$

Ako se ova dužina uporedi sa korakom, ustanoviće se koliko će se zubaca kod spregnutih zupčanika nalaziti u istovremenom zahvatu. Da bi se osiguralo neprekidno kretanje i postigao miran hod, treba da naredni zubac stupi u zahvat pre nego što prethodni zubac izađe iz zahvata, a ovo može biti samo u slučaju ako je dužina dodirnog luka veća od koraka, tj.

$\stackrel{⌢}{C_{1}C{D}_1}>t$

Odnos između dužine dodirnog luka i koraka zove se stepen sprezanja:

$\epsilon =\frac{\stackrel{⌢}{C_{1}C{D}_1}}{t}>1$

Za potrebe prakse vrednost stepena sprezanja ne sme biti manja od ɛ =1,2 t, što znači da je u trenutku kada se završava zahvat prvog para zubaca, već drugi par stupio u zahvat sa 20% od veličine koraka »t«. Pri stepenu sprezanja, npr. ɛ=2, nalazi se u istovremenom zahvatu uvek 2 para zubaca i stoga se opterećenje rasporedi na dva radna profila. Usled ovakvog rasterećenja štede se zupci, a hod zupčanika postaje ravnomerniji. Stoga su i uslovi za lagan hod zupčanika u ovom slučaju mnogo povoljniji nego kod minimalnog stepena sprezanja.

Iz konstrukcije na slici 20. može se zaključiti da veličina izvodnog kruga utiče na oblik zupca, a prema tome i na smer i veličinu pritiska na zubac, a i na veličinu međusobnog klizanja radnih profila. Pritisak na zubac ima smer normale u trenutnoj dodirnoj tački spregnutih profila. Kako se, međutim, dodirna tačka pomera u toku zahvata po dodirnici, odnosno po izvodnim krugovima, to će i pritisak na zubac biti utoliko veći ukoliko je trenutna dodirna tačka dalje od tačke C, odnosno ukoliko je izvodni krug manji. U ovom slučaju bilo bi korisno da se odaberu pri konstruisanju profila zubaca što veći izvodni krugovi. Ali sa povećanjem izvodnog kruga profil korena sve više se približava radijalnom pravcu tako da će pri ρ=0,5 R hipocikloida imati oblik radijalne linije. U tom slučaju zupci su slabiji u korijenu nego na podeonom krugu, a njihovo se međusobno klizanje pri radu povećava. Iz slike 20. se, naime, vidi da od početka zahvata u tački A pa do tačke C radi koren predajnog zupca na dužini $\stackrel{⌢}{A_{1}C}$  i glava prijemnog zupca na dužini $\stackrel{⌢}{A_{2}C}$ a od tačke C do tačke B radi glava zupca $\stackrel{⌢}{C{B}_1}$ sa korenom zupca $\stackrel{⌢}{C{B}_2}$.

Pošto dužine radnih delova ovih profila nisu jednake, već je $\stackrel{⌢}{A_{1}C}<\stackrel{⌢}{A_{2}C}$ i $\stackrel{⌢}{C{B}_1}>\stackrel{⌢}{C{B}_2}$, zupci će međusobno kliziti za razliku odgovarajućih putanja  $\stackrel{⌢}{A_{2}C}-\stackrel{⌢}{A_{1}C}$, odnosno $\stackrel{⌢}{C{B}_1}-\stackrel{⌢}{C{B}_2}$. Povećanjem izvodnog kruga povećava se i razlika ovih putanja, a time i trenje, kao i gubici usled trenja. Ali povećanje izvodnog kruga vodi istovremeno ka povećanju stepena sprezanja i ka smanjivanju pritiska na zubac. Kod ovih tako raznovrsnih uticaja najpovoljniji odnosi nastupaju pri ρ=R/3.

Na osnovu slike 20. može se takođe zaključiti da će habanje bokova zubaca usled klizanja biti veće kod korena nego kod glave, pošto je tamo trenju izložena manja površina. Stoga se smer klizanja menja pri prelasku zupca kroz tačku C. Isto važi i za otpor klizanja.

Kod međusobno zamenljivih zupčanika, kao što je već napomenuto, delovi dodirnice sa obe strane linije O₁O₂ moraju biti podudarni za sve zupčanike iste garniture. Ovo je moguće samo ako su izvodni krugovi za sve zupčanike istog sloga jednaki. Za celi slog je tada merodavan izvodni krug najmanjeg zupčanika, jer ako se za njega usvoji kao granična vrednost poluprečnika ρ=0,5 R odnosno R=2ρ tada su zupci radijalni u korenu. Dalje povećanje poluprečnika ρ znatno bi oslabilo zupce u korenu. Broj zubaca najmanjeg zupčanika u slogu ne uzima se u ovom slučaju ispod z=11, da ne bi zupci ispali suviše šiljasti. Tada je poluprečnik izvodnih krugova izmenljivih zupčanika potpuno određen i njegova se vrednost dobija na taj način što se u jednačinu 2Rπ=zt stave vrednosti z=11 i R=2ρ. Na taj način izlazi 4ρπ=11 t, odakle ρ=0,875 t. Iz toga sledi da će izmenljivi zupčanici, pošto su im izvodni krugovi mali, imati i mali stepen sprezanja. Stoga se izmenljivi zupčanici sa cikloidnim zupčanjem primjenjuju samo izuzetno, i to u specijalnim slučajevima.

Cikloidno zupčanje u slučaju malog broja zubaca. Kod točkova sa malim brojem zubaca normalna konstrukcija cikloidnih profila vodi ka nedovoljnom stepenu sprezanja usled male veličine izvodnog kruga. Da se dobije povoljan stepen sprezanja, tj. ɛ>1, i u slučaju ako zupčanik ima svega 3-4 zupca, može se poluprečnik izvodnog kruga povećati do granične vrijednosti ρ=R, sl. 21. U tom slučaju će hipocikloidna krivulja biti predstavljena samo tačkom, i stoga se ovaj način profilisanja zubaca zove zupčanje na tačku.

Slika 21

Profili glava zubaca dobiju se kao i pre, kotrljanjem izvodnih krugova po deonim, Kod toga pri kotrljanju:

a) kruga poluprečnipa ρ₁ po krugu R₂ dobija se epicikloida CE₂;

b) kruga poluprečnika ρ₁ po krugu R₁ dobija se hipocikloidna tačka C.

Na isti način pri kotrljanju:

c) kruga poluprečnika ρ₂ po R₁ nastaje epicikloida CE₁;

d) kruga poluprečnika ρ₂ po R₂ nastaje hipocikloidna tačka C.

Stoga osnovnom pravilu zupčanja odgovara samo profil glave, dok se profil korena mora posebno konstruisati prema relativnoj putanji vrha zupca, prema kojoj se tada izradi međuzublje tako da bi se osigurao nesmetani prolaz glave spregnutog zupca, sl. 21.

Relativna putanja vrha zupca A₂ konstruiše se uz pretpostavku da se zupčanik I kotrlja svojim dodirnim krugom po dodirnom krugu II zupčanika, tj. da se njegovo središte O₁ kreće po krugu oko središta O₂. Na dodirnim krugovima, počev od tačke C, nanese se izvestan broj jednakih delova, koji će se pri kotrljanju ovih krugova međusobno poklapati. Putanja tačke A₂ dobije se na taj način da se najpre opiše luk poluprečnika CA₂ kroz tačku A₂ oko C, a poluprečnikom 1A₂ luk oko 1' do secišta sa prethodnim lukom; zatim se poluprečnikom 2A₂ opiše luk oko tačke 2' opet do secišta sa prethodno opisanim lukom itd. Secišta ovih lukova leže na krivulji koja pokazuju do koje je mere potrebno izdubsti koren zupca, da bi se time omogućio nesmetan rad zupčanika.

Pri kretanju zupčanika od početka zahvata u  tački A pa do tačke C, celi profil glave A₁B₁ klizi dodirujući uvijek istu tačku A₁ prvog zupčanika. Iza tačke C radi profil A₁B₁ sa tačkom B₂ zupčanika II. Pošto je sa celim profilom glave u zahvatu uvek ista tačka, posledica toga je jako habanje bokova zubaca u blizini dodirnih krugova. Pored toga su zupci jako oslabljeni u korenu i radi toga treba da se ojačaju bočnim naslonima. Iz ovih se razloga zupčanje na tačku, iako se tu postiže najveći za date uslove stepen sprezanja retko primjenjuje i to samo za male obodne brzine i umerena opterećenja.

Cikloidno zupčanje zupčaste poluge. Prenos zupčastom polugom je spoljašnji zupčasti prenos kod kojeg je poluprečnik dodirnog kruga zupčaste poluge R₂=∞. Stoga se tu umesto dodirnog kruga pojavljuje dodirna linija FF, sl. 22; inače je kostrukcija profila u svemu slična ranije opisanoj konstrukciji.

Slika 22

Na slici 22. je R₁ poluprečnik dodirnog kruga zupčanika, FF je dodirna linija zupčaste poluge, ρ₁
je poluprečnik izvodnog kruga zupčanika, ρ₂ je poluprečnik izvodnog kruga zupčaste poluge. Pri kotrljanju izvodnih krugova po dodirnom krugu dobija se profil glave i korena zupca zupčastog točka, a pri kotrljanju izvodnih krugova po dodirnoj liniji FF dobija se profil zupca zupčaste poluge.

Kod toga pri kotrljanju:

1. kruga poluprečnika ρ₂ po krugu poluprečnika R₁ nastaje epicikloida CE₁,

2. kruga poluprečnika ρ₁ po krugu R₁ dobiva se hipocikloida CH₁,

3. kruga poluprečnika ρ₁ po liniji FF nastaje cikloida CC₂,

4. kruga poluprečnika ρ₂ po liniji FF dobija se cikloida CC₂.

Pri konstruisanju zupca zupčaste poluge dele se izvodni krugovi i deona linija FF, počev od tačke C, u izvestan broj jednakih delova, i zatim se kroz deone tačke izvodnih krugova povuku paralele sa linijom FF; na ovim paralelama leže tačke profila. Tako npr. tačka 4" leži u secištu paralele kroz tačku 4' i luka poluprečnika C4' opisanog iz tačke 4. Tačka 6₁" cikloide CC₂' leži u secištu paralele kroz tačku 6'₁ i luka poluprečnika C6'₁ iz tačke 6₁.

Kao što je na slici naznačeno, zahvat počinje u tački A, gde se u tom trenutku dodiruje tačka A₁ korena sa vrhom glave zupca A₂ zupčaste poluge. Završetak zahvata je u tački B, gde se dodiruje vrh zupca B₁ sa tačkom B₂ korena zupca zupčaste poluge. Pošto je kretanje poluge pravolinijsko, može se lako izmeriti dužina dodirnog luka.

Iz slike sledi da je

$\stackrel{⌢}{ACB}=\overline{A{A}_2}+\overline{B_{2}B}$

tako da je stepen sprezanja

$\varepsilon =\frac{\overline{AA_2}+\overline{B_2B}}{t}$

Danas se više ne izrađuju zupčaste poluge sa cikloidnim zupčanjem, već se u svim slučajevima takvih prenosa primjenjuje evolventno zupčanje. Izuzetak čini slučaj sprezanja zupčaste poluge i točka s malim brojem zubaca, gdje se primjenjuje specijalna vrsta zupčanja, kod koje je jedan deo zupca zupčaste poluge evolventnog profila, a drugi cikloidnog.