Geometrija je oblast matematike koja proučava svojstva i međusobne odnose dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih prostornih oblika: geometrijskih elemenata (tačka, prava, kružnica...), ravanskih figura (mnogougao, paralelogram, izlomljena linija...), geometrijskih tela (kvadar, lopta, valjak...), površi (pravolinijske, rotacione...)...

Nastala je u starom Egiptu, a razlozi za njen nastanak su veoma jednostavni i praktični. Naime, reka Nil  je svake godina plavila njive i posle svakog njenog povlačenja je bilo potrebno ponovo parcelisati zemljište. Razvojem arhitekture ljudi su se počeli sretati sa sve složenijim geometrijskim problemima za čije rešavanje je bilo neophodno razviti sve složenije geometrijske metode. Vremenom su ove metode postajale složenije i neophodno ih je bilo trajno zabeležiti, ovo je bio početak geometrije kao nauke t.j. geometrije kakvu je mi danas poznajemo.

Najveći doprinos razvoju geometrije kao nauke su dali starogrčki matematičari Pitagora, Euklid,Tales iz Mileta, Arhimed... Tokom antičkih vremena uglavnom se razvijala planimetrija (geometrija u ravni) i stereometrija (geometrija u prostoru), što je i logično pošto su to bile jedine dve oblasti geometrije koje su imale praktičnu vrednosta za ljude tog doba. Čovečanstvo dugo nije imalo potrebe da mnogo unapređuje znanje iz geometrije koje su ostavili stari Egipćani i Grci, prve značajne promene su se desile tek sa industrijskom revolucijom, odnosno sa početkom serijske proizvodnje.

Tokom 17 i 18 veka intenzivno je počela da se razvija industrija, što je za posledicu imalo razvoj fizike i matematike. Prva značajna promena se desila 1637. godine kada je Dekart predstavio kooordinatni sistem i time dao temelj analitičke i diferencijalne geometrije. Ovo je bio početak burnog razvoja fizike, matematike i geometrije koji je vremenom omogućio sasvim drugi nivo proračuna fizičkih pojava.

 

Dalji razvoj ovih nauka je tadašnjim «inženjerima» dao sledeće mogućnosti:

  • pre izrade proizvoda mogli su pomoću planimetrije i stereometrije proračunati oblik t.j. dimenzije proizvoda, njegovu površinu, zapreminu...

  • pomoću analitičke geometrije mogli su pretvoriti oblik proizvoda u jednačine i uneti ih u jednačine pomoću za proračun fizičkih pojava, npr u jednačine iz Mehanike,

  • za trajno pamćenje oblika proizvoda mogli su koristiti posebne specijalističke geometrijske discipline poput nacrtne geometrije i tehničkog crtanja.

Ovakvo stanje je trajalo do sredine 20. veka kada su se pojavili prvi računari (npr. SketchPad). Iako spori i skupi, njihovi prvi poslovi su bili automatizacija rešavanja geometrijskih zadataka. Uzgred, ova činjenica nam mnogo govori o značaju geometrije za čovečanstvo.

Da bi računari imali sposobnost rešavanja geometrijskih zadataka, neophodno je bilo geometriju prilagoditi «jeziku» koji oni razumeju. Tako su nastale informatičke discipline čija je uloga bila opisivanje geometrijskih entiteta na računarima razumljiv način (geometrijsko modeliranje, računarska geometrija, numerička analiza, programski jezici...) i discipline čija je uloga bila da geometrijske entitete prikažu na ekranu t.j. omoguće komunikaciju čovek/računar (računarska grafika, grafički standardi...).

Matematika i geometrija su uvek bile izuzetno značajne «alatke» za ineženjere. Ranije su oni morali ručno obavljati veliki broj geometrijskih proračuna, što je bilo izuzetno sporo, zamorno i nastajao je veliki broj subjektivnih grešaka. Danas su ti procesi skoro u potpunosti automatizovani, s tim da računari nisu promenili suštinu odnosa geometrije i inženjerskih disciplina, već su:

  • automatizovali proračune - inženjeri danas mogu pomoću raznih softvera veoma brzo rešavati čak i najsloženije geometrijske zadatke,

  • oslobodili inženjere rutinskih i iterativnih geometrijskih proračuna,

  • promenili način kontakta sa geometrijom – inženjeri nemaju više direktni kontakt sa geometrijom već je taj kontakt posredovan računarskim programima (CAD sistemi, specijalizovani matematički softveri...) 

 

Danas je inženjerima najznačajnija alatka umesto digitrona, postao CAD sistem. Temelj svakog CAD sistema je matematika i geometrija tako da ovu vstu softvera možemo posmatrati kao skup alatki koje imaju za cilj da olakšaju rešavanje i vizuelizaciju specifičnih geometrijskih problema sa kojima se inženjeri susreću u praksi.
Da bi ste bolje razumeli vezu geometrije i CAD sistema (precizni rečeno CAx tehnologija) predstaviću Vam problematiku malo podrobnije:

  1. CAD sistemi koriste matematičke metode da precizno, u vidu virtuelnog geometrijskog 3D modela, opišu oblik i dimenzije nekog proizvoda. 3D model je u stvari na računaru razumljiv način opisan geometrijski oblik nekog proizvodan. Sposobnost matematičkog opisivanja daje geometrijsko jezgro u kojem su u vidu algoritama pohranjeni svi matematički/geometrijski proračuni. Aktiviranjem neke alatke za modeliranje, aktiviraju se odgovarajući algoritmi i geometrijsko jezgro će obaviti određene proračune: npr. konstruisaće neki geometrijski elemenat ili telo, pronaći će presečnu tačku dve duži, bulovom operacijom će sjediniti dva tela, primeniće geometrijsko ograničenje na skicu (ograničenje tangentnosti, ograničenje paralelnosti...), izvući će skicu u prizmatično telo, skaliraće konturu... Kada se završi modeliranje proizvoda njegov oblik je u potpunosti matematički opisan. Svaki geometrijski elemenat od kojeg se 3D model sastoji je na neki način proračunat i povezan sa ostalima. Zahvaljujući računarskoj grafici ovako dobijen 3D model je moguće prikazati na ekranu računara. 

    Na osnovu virtuelnog geometrijskog modela se dalje može obavljati veliki broj specijalističkih geometrijskih proračuna koji su razvijeni za rešavanje raznih vsta inženjerskih i tehnoloških problema, npr:

  2. CAM tehnologija - Na osnovu 3D modela se obavljaju proračuni putanja kojima će se alati kretati tokom proizvodnje na RNU mašinama. Putanje alata su u suštini 2D ili 3D konture sastavljene od jednostavnih geometrijskih elemenata (duž, kružni luk, kružnica...),

  3. CAE proračuni – Na osnovu 3D modela obavljaju se proračuni metodom konačnih elementa. Mreža pomoću koje se obavljaju MKE proračuni je u potpunosti sastavljena od  geometrijskih elemenata (duži, mnogouglova...),

  4. Modeliranje sklopova - Veze između delova u sklopovima su u vidu geometrijskih spojeva (paralelni spoj između ravni, ugaoni spoj između ravni, aksijalni spoj između cilindričnih površi...),

  5. Izrada tehničkih crteža - Prilikom generisanja pogleda ili preseka obavljaju se proračuni koji se temelje na principima Nacrtne geometrije,

  6. ...

Primetite da se kroz sve nabrojane aktivnosti uvek provlači reč geometrijski.

Iako je danas veliki deo geometrije sakriven u CAD softverima, ne treba olako smatrati da inženjeri više ne moraju poznavati geometriju. CAD softveri su samo napredna alatka koja služi da automatizuje rešavanje geometrijskih problema, slično kako je digitron automatizovao računske radnje.

Zbog značaja koji geometrija ima u CAD sistemima probaću da Vam u ovoj kategoriji predstavim što više geometrijskih oblasti koje su bitne za tehničke struke i CAD modeliranje. Na moju sreću danas postoji veliki broj kvalitetnih starih knjiga kojima su zbog starosti istekla autorska prava. Nivo znanja koje one nude je sasvim dovoljan za moju nameru. Neke knjige ću samostalno digitalizovati, a neke ćete moći preuzeti kao datoteke u PDF ili DJVU formatima.

 

Geometrija: