Dokazati teoreme:
U paralelogramu odstojanja ma koje tačke dijagonale od dve susedne strane stoje u obrnutom odnosu prema ovim stranama.
Površina trapeza jednaka je proizvodu iz jedne od neparalelnih strana i normale spuštene iz sredine druge neparalelne strane na prvu.
Dva su četvorougla jednaka ako su im jednake odgovarajuće dijagonale i zahvaćeni uglovi.
Ako su površine dva trougla, koji leže na osnovicama trapeza i postali su presekom njegovih dijagonala, jednake p2 i q2, onda je površina trapeza jednaka (p+q)2.
Površina pravilnog upisanog šestougla iznosi 3/4 površine pravilnog opisanog šestougla.
U četvorouglu ABCD kroz sredinu dijagonale BD povučena je prava paralelna drugoj dijagonali AC; ova prava seče stranu AD u tački E. Dokazati da duž CE polovi četvorougao.
Ako se srednje linije jednoga trougla uzmu kao strane drugog trougla, onda površina poslednjeg iznosi 3/4 površine prvoga.
U krugu s centrom O povučena je tetiva AB. Nad poluprečnikom OA, kao nad prečnikom, opisana je kružna linija. Dokazati da se površine dva odsečka koje odseca tetiva AB od oba kruga odnose kao 4:1.
Računski zadaci
Izračunati površinu pravouglog trapeza čiji je jedan ugao 60º, kad su poznate obe osnovice, ili jedna od osnovica i visina, ili jedna od osnovica i kosa bočna strana.
U trapezu poznate su osnovice B i b i visina H. Izračunati visinu trougla koji grade neparalelne strane kad se produže do uzajamnog preseka.
U trouglu upisan je drugi trougao čija temena polove strane prvog trougla; u drugi trougao na isti način upisan je treći; u treći - četvrti itd. do beskonačnosti. Naći granicu kojoj teži zbir površina svih trouglova
Izračunati poluprečnik r upisanog kruga u trouglu čije su strane a, b i c.
Uputstvo. Ako je Ѕ površina trougla, onda je
S=1/2ar+1/2br+1/2cr=pr
gde je p poluobim trougla. S druge strane površina S data je obrascem u § 256. Odatle se može dobiti obrazac za r.
13. Izračunati visinu i površinu odsečka kao funkciju od r kruga, ako centralni ugao sadrži 60°. Izračunavanje izvršiti na tri načina: 1) oduzimanjem površine trougla od površine isečka; 2) pomoću prvog skraćenog obrasca navedenog u § 269, i 3) pomoću drugog skraćenog obrasca. Uporediti dobijene rezultate u cilju da se odredi apsolutna i relativna greška približnih rezultata.
Rešene:
b=r
h=r-1/2r√3=1/2r(2-√3)=0,1340r
1) površina p1=πr2/6-r2√3/4=r2(π/6-√3/4)=0,0906r2
2) površina p2=2/3bh=2/3·r·0,1340·r=0,0893r2
3) površina p3= 2/3bh+h3/bh=0,0893r2+0,0012r2=0,0905r2
Apsolutna greška
za površinu p2=0,0906r2-0,0893r2=0,0013r2
za površinu p3=0,0906r2-0,0905r2=0,0001r2
Relativna greška (tj. odnos apsolutne greške prema veličini površine):
za površinu p2=(p1-p2)/p1=(0,0013·r2)/0,0906·r2=0,014=1,4%
za površinu p3=(p1-p3)/p1=(0,0001·r2)/0,0906·r2=0,001=0,1%
Na taj način, rezultat po prvom približnom obrascu je mani od tačnog rezultata za 1,4% (približno), a rezultat po drugom približnom obrascu - za 0,1%.
1) Izračunati r kruga kad je poznata osnovica b odsečka i negova visina һ.
Uputstvo. Iz pravouglog trougla čija je hipotenuza r, jedna kateta b/2 a druga r-h imamo jednačinu: (b/2)2+(r-h)2=r2 iz koje se lako određuje r.
2) Izračunati prečnik kruga ako je poznata osnovica otsečka 67,2 cm i negova visina 12,8 cm.
Konstruktivni zadaci
Podeliti trougao pravama koje prolaze kroz negovo teme na tri dela čije se površine odnose kao m:n:p.
Podeliti trougao na dva jednaka dela pravom koja prolazi kroz datu tačku negove strane.
Naći u unutrašnjosti trougla takvu tačku da prave koje je spajaju s trouglovim temenima dele trougao na tri jednaka dela.
Uputstvo. Podelimo stranu AC na tri jednaka dela tačkama D i E. Kroz tačku D povučemo pravu paralelnu s AB, a kroz E- pravu paralelnu sa BC. Njihov presek je tražena tačka.
Isto to - na tri dela u razmeri 2:3:4 (ili m:n:p).
Podeliti paralelogram na tri jednaka dela pravama koje polaze iz njegovog temena.
Podeliti paralelogram jednom pravom povučenom kroz datu tačku na dva dela čije se površine odnose kao m:n.
Uputstvo. Srednju liniju paralelograma podeliti u razmeri m:n i deonu tačku spojiti s datom tačkom.
Podeliti paralelogram na tri jednaka dela pravama koje su paralelne dijagonali.
Površinu trougla pravom paralelnom osnovici podeliti po neprekidnoj proporciji.
Uputstvo. Rešiti primenom algebre na geometriju.
Podeliti trougao na tri jednaka dela pravama koje stoje normalno na osnovici.
Podeliti krug na 2, 3… jednakih delova koncentričnim kružnim linijama.
Trapez podeliti na dva jednaka dela pravom koja je paralelna osnovici.
Uputstvo. Produžiti neparalelne strane do uzajamnog preseka, uzeti za nepoznatu odstojanje krajne tačke tražene prave do trouglovog temena i sastaviti proporcije na osnovu površina sličnih trouglova.
Dati pravougaonik pretvoriti u drugi sa datom osnovicom.
Konstruisati kvadrat koji iznosi 2/3 datog kvadrata.
Kvadrat pretvoriti u pravougaonik kada je dat zbir ili razlika susednih pravougaonikovih strana.
Konstruisati krug koji je jednak kružnom prstenu između dve date kružne linije.
Data su dva trougla. Konstruisati treći trougao koji je jednak prvom, a sličan drugom trouglu.
Dati trougao pretvoriti u ravnostrani trougao (primenom algebre na geometriju).
U dati krug upisati pravougaonik čija je površina m2 (primenom algebre na geometriju).
U dati trougao upisati pravougaonik čija je površina m2 (primenom algebre na geometriju; analizirati).