Dokazati teoreme
1. Prava povučena kroz sredine paralelnih strana trapeza prolazi kroz presečnu tačku dijagonala i presek neparalelnih strana.
2. Ako se u trouglu iz temena ugla između nejednakih strana povuku simetrala ugla i srednja linija, onda je prva manja od druge.
3. Ako se dva kruga dodiruju spolja, onda je deo zajedničke spoljne tangente između dodirnih tačaka srednja proporcionala prečnika oba kruga.
4. Ako se na stranama jednog ugla uzmu od temena proporcionalni odsečci, onda su prave što spajaju njihove krajnje tačke paralelne.
5. Ako se u pravouglom trouglu ABC upiše kvadrat DEFG tako da strana DE leži na hipotenuzi BC, onda je ta strana srednja proporcional između hipotenuzinih odsečaka BD i EC (tačke na hipotenuzi idu ovim redom: B, D, E, C).
6. Ako se dve duži AB i CD (ili njihova produženja) seku u tački E tako da EB·EA=EC·ED, onda tačke A, B, C i D leže na kružnoj liniji (teorema obrnuta teoremi § 200 i 202).
7. Data je kružna linija O i dve tačke A i B. Kroz te tačke povučeno je nekoliko kružnih linija koje seku ili dodiruju kružnu liniju O. Dokazati da sve tetive koje spajaju presečne tačke svake kružne linije sa kružnom linijom O, a tako isto zajedničke tangente, prolaze (pri produženju) kroz jednu tačku na produženju AB.
8. Na osnovu prethodne teoreme naći način konstrukcije kružne linije koja prolazi kroz dve date tačke A i B a dodiruje datu kružnu liniju.
9. Data su u ravni dva kruga. Ako se dva prečnika ovih krugova kreću tako da uvek ostaju paralelni prvobitnom položaju, onda prava koja prolazi kroz njihove krajnje tačke seče centralnu liniju u jednoj tački (u centru sličnosti oba kruga).
10. Srednja linija u trouglu polovi svaku pravu koja je povučena u trouglu paralelno strani prema kojoj je uzeta srednja linija.
11. Date su tri prave koje polaze iz iste tačke. Ako se duž jedne od njih kreće kakva tačka, onda njena odstojanja od dve druge prave stoje u istom odnosu.
12. Ako su dve kružne linije koncentrične, onda je zbir kvadrata odstojanja svake tačke jedne od njih do krajnjih tačaka ma kog prečnika druge stalna količina (§ 197).
13. Ako se podnožja visina jednog trougla spoje pravim linijama, onda su tri trougla dobijena kod temena datoga trougla slična njemu Izvesti odatle da su visine datog trougla simetrale uglova u trouglu čije su strane prave koje vezuju podnožja visina.
14. Na produženju prečnika AB jedne kružne linije iza tačke B uzeta je tačka C i povučena prava CD⊥AB. Ako proizvoljnu tačku M te normale spojimo sa A, onda je proizvod AM·AA1, stalna količina za svaku tačku M (A1, druga presečna tačka prave s kružnom linijom).
Naći geometrijska mesta:
15. Sredina svih tetiva koje prolaze kroz istu tačku kružne linije.
16. Tačaka koje dele u razmeri m:n sve tetive koje prolaze kroz istu tačku kružne linije.
17. Tačaka čija se odstojanja od strana datog ugla odnose kao m:n.
18. Tačaka čiji je zbir kvadrata odstojanja od dve date tačke stalna količina (§ 197).
19. Tačaka čija je razlika kvadrata odstojanja od dve date tačke stalna količina.
20. Tačaka koje dele u razmeri m:n sve prave što spajaju tačke kružne linije s datom tačkom O (u unutrašnjosti kruga ili van njega).
Konstruktivni zadaci
21. Kroz tačku koja leži u uglu ili van njega povući pravu, tako da se njeni odsečci između ove tačke i strana ugla odnose kao m:n.
22. Naći u trouglu takvu tačku da se normale spuštene iz nje na trouglove strane odnose kao m:n:p (vidi 17 zadatak).
23. Konstruisati trougao kad je poznata jedna strana, nalegli ugao i razmera date strane prema trećoj strani (koliko ima rešenja?).
24. Isto-kad je dat ugao pri vrhu, osnovica i razmera osnovice prema jednoj od bočnih strana.
25. Isto - kad je data visina, ugao pri vrhu i razmera odsečaka osnovice.
26. Isto - kad je poznat ugao pri vrhu, osnovica i tačka na osnovici kroz koju prolazi simetrala ugla pri vrhu.
27. Isto - kada su data dva ugla i zbir ili razlika osnovice i visine.
28. Konstruisati ravnokraki trougao kad je poznat ugao pri vrhu i zbir osnovice i visine.
29. Na neograničenoj pravoj date su tačke A i B. Naći na toj pravoj treću tačku, tako da CA:CB=m:n, gde su m i n date duži ili brojevi (ako m±n, onda postoje dve takve tačke: jedna između A i B, a druga van duži AB).
30. U dati krug upisati trougao kod koga je poznata osnovica i razmera bočnih strana.
31. U dati krug upisati trougao kod koga je poznata osnovica i srednja linija prema jednoj od bočnih strana.
32. U dati kružni odsečak upisati kvadrat, tako da jedna njegova strana leži na tetivi, a temena suprotnih uglova na kružnom luku.
Uputstvo: zadaci se rešavaju metodom sličnih slika (§ 181).
33. U dati trougao upisati kvadrat, tako da mu jedna strana leži na trouglovoj osnovici, a temena suprotnih uglova na bočnim stranama.
34. u dati trougao upisati pravougaonik čije se strane odnose kao m:n (vidi zadatak 33).
35. Oko datog kvadrata opisati trougao sličan datom trouglu.
36. Na kružnoj liniji date su dve tačke A i B. Naći na kružnoj liniji treću tačku C, tako da CA:CB=m:n.
37. Konstruisati trougao kad su poznate dve strane i simetrala zahvaćenog ugla (vidi sl. 196: prvo nalazimo pravu CE iz proporcije: CE:BD=AE:AB; zatim konstruišemo △BCE itd.).
38. Konstruisati duž x koja se odnosi prema datoj duži m kao a2:b2 (a i b - date duži).
39. Odrediti tačku van datog kruga da bi tangente povučene iz nje na krug bile dvaput manje od sečice, povučene iz iste tačke kroz centar (primenom algebre na geometriju).
40. Kroz tačku van kruga povući sečicu koja bi kružnom linijom bila podeljena po datoj razmeri (primenom algebre na geometriju).
41. Konstruisati △ kada su date visine h1, h2, h3.
Rešenje. Prvo se ima dokazati iz pravouglih trouglova da su visine obrnuto proporcionalne odgovarajućim stranama. Ako se strane obeleže sa x1, x2, i x3, onda:
x1:x2=h2:h1
x2:x3=h3:h2=1:h2/h3=h1:((h1h2)/h3)
odatle
x1:x2:x3=h2:h1:((h1h2)/h3)
Izraz (h1h2)/h3 predstavlja četvrtu proporcionalu za h3, h2, h1. Ako je konstruišemo (neka ona bude k), imaćemo tri duži h2, h1 i k kojima su tražene strane proporcionalne; znači, trougao čije su strane h2, h1, i k sličan je traženom trouglu i stoga se rešavanje zadataka svodi na konstrukciju takvog trougla koji je sličan datom a ima datu visinu. Zadatak je nemogućan ako tri prave h1, h2 i k ne čine trougao.
42. Konstruisati duži određene izrazima:
1) x= abc/de=(ab/d)·(c/e)
(treba dvaput konstruisati četvrtu proporcionalu);
2) x=√(a2+bc)
(prethodno konstruisati duž k=√bc, a zatim x=√(a2+k2).
Računski zadaci
43. U oštrouglom trouglu data je osnovica a i visina һ. Izračunati stranu x kvadrata upisanog u trouglu, tako da mu jedna strana leži na osnovici, a dva temena na bočnim stranama.
44. Strane trougla su 10, 12 i 17m. Izračunati odsečke koje na strani od 12m gradi simetrala suprotnog ugla.
45. Hipotenuzina visina deli hipotenuzu na dva odsečka m i n. Izračunati katete.
46. U trouglu ABC date su strane a, b i c. Izračunati srednju liniju AD povučenu prema stranя BC.
Uputstvo. Produžimo AD na otstojane DE=AD i spojimo tačku E sa B i C, dobićemo paralelogram, na koji ćemo primeniti teoremu § 197.
47. U trouglu ABC date su strane: AB=7, BC=15 i AC=10. Odrediti, kakav je ugao A (oštar, prav ili tup), i visinu spuštenu iz temena B.
48. Iz tačke van kruga povučena je tangenta a i sečica. Izračunati dužinu sečice kad se zna da se njen spoljašni odsečak odnosi prema unutrašnjem kao m:n.
49. Krugovima, čiji su poluprečnici R i r a centralna razdaljina d, povučena je zajednička tangenta. Odrediti izračunavanjem položaj presečne tačke tangente s centralnom razdaljinom, prvo, kada se tačka nalazi s jedne strane od centra, drugo, kada se tačka nalazi između centara.