Pravilni mnogouglovi

Takve su, na primer, linije ABCDE i FGHKL (sl. 218); izlomljena linija MNPQR nije pravilna pošto ne zadovoljava treći uslov.

Pravilna izlomljena linija može da bude ispupčena (konveksna), kao što je, na primer, linija ABCDE.

Mnogougao se zove pravilan ako je ograničen pravilnom izlomljenom linijom, tj. ako ima sve strane i sve uglove jednake. Takvi su, na primer, kvadrat, ravnostrani trougao i dr. Mnogougao predstavljen na sl. 219 je ispupčen pravilan petougao; mnogougao na slici 219a takođe je pravilan mnogougao, ali nije i ispupčen (on ima oblik zvezde). Mi ćemo proučavati samo ispupčene pravilne mnogouglove, i stoga kada kažemo „pravilan mnogougao", smatramo do je to ispupčen mnogougao.

Naredne teoreme pokazaće nam da je konstrukcija pravilnih mnogouglova tesno vezana za deljenje kružne linije na jednake delove.

213. Teorema. Ako se kružna linija podeli na nekoliko jednakih delova (više od dva), onda:

   1. spajanjem tetivama uzastopnih tačaka dobija se pravilan mnogougao (upisani);

   2. povlačenjem tangenata u deonim tačkama i produženjem svake od njih do uzajamnog preseka sa tangentama u susednim tačkama dobija se pravilan mnogougao (opisani).

Neka je kružna linija (sl. 220) tačkama A, B, C itd. podeljena na više jednakih delova i kroz deone tačke povučene su tetive AB, BC... i tangente MBN, NCP itd. Tada:

1. Upisani mnogougao ABCDE je pravilan pošto su mu sve strane jednake (kao tetive koje odgovaraju jednakim lucima) i svi uglovi jednaki (kao periferijski čiji su luci jednaki).

2. Da bi se dokazala pravilnost opisanog mnogougla MNPQRS razmotrimo trouglove AMB, BNC itd. Njihove su osnovice AB, AC itd. jednake, nalegli uglovi takođe su jednaki pošto se imaju istu meru (ugao između tangente i tetive meri se polovinom luka u unutrašnjosti ugla). Znači da su svi trouglovi ravnokraki i podudarni. Prema tome, MN=NP itd., i ∢M=∢N... itd., tj. mnogougao MNPQRS je pravilan.

214. Napomena. Ako iz centra O (sl. 221) spustimo normale na tetive i produžimo ih do preseka s kružnom linijom u tačkama M, N itd., onda će ove tačke prepoloviti sve tetive i lukove i na taj način će se kružna linija podeliti na jednake delove. Stoga, ako se kroz tačke M, N itd. povuku tangente do uzajamnog preseka, kao što je rečeno ranije, dobiće se takođe jedan pravilan opisani mnogougao čije su strane paralelne stranama upisanog mnogougla. Svaki par temena A i A₁, B i B₁ itd. leži na simetrali ugla MON i drugih istih uglova.

215. Teorema. Ako je mnogougao pravilan, onda: 1) oko njega se može opisati kružna linija; 2) u njemu se može upisati kružna linija.

1. Konstruišimo kružnu liniju kroz kakva bilo tri uzastopna temena A, B i C (sl. 222) pravilnog mnogougla ABCDE i dokažimo da će ona proći i kroz četvrto teme D. Spustimo iz centra O normalu OK na tetivu BC i spojimo O sa A i D. Okrenimo četvorougao ABKO oko OK, tako da padne na četvorougao ODCK. Tada će KB pasti na KC (usled jednakosti uglova kod KN), tačka B u C (pošto tačka K polovi tetivu BC), strana BA pada na CD (zbog jednakosti uglova B i C) i, najzad, tačka A pada u D (pošto su strane BA i CD jednake). Iz svega sleduje da će AO poklopiti OD, a to znači da su tačke A i D podjednako udaljene od centra O; prema tome tačka D leži na kružnoj liniji, koja prolazi kroz A, B i C. Isto tako ćemo dokazati da kružna linija koja prolazi kroz B, C i D prolazi i kroz teme E itd.; znači, ona će proći kroz sva mnogouglova temena.

2. Iz dokazanoga sleduje da se strane pravilnog mnogougla mogu smatrati kao jednake tetive jedne kružne linije; ali takve tetive su podjednako udaljene od centra; znači, sve normale OM, ON itd., spuštene iz centra na mnogouglove strane, su jednake među sobom i stoga će kružna linija opisana poluprečnikom OM iz centra O biti upisana u mnogouglu ABCDE.

216. Posledica. Iz prethodnog nam je jasno da upisana i opisana kružna linija imaju zajednički centar. Pošto je ovaj centar podjednako udaljen od svih mnogouglovih temena, mora da leži na simetrali ma koje mnogouglove strane, a pošto je podjednako udaljen od strana svakoga ugla, leži na simetrali ugla. Prema tome, da bi se našao centar upisane ili opisane kružne linije oko mnogougla, dovoljno je da se odredi presečna tačka dveju simetrala strana ili simetrala uglova, ili simetrale jedne strane i simetrale ugla.

Očevidno je da su simetrale strana i simetrale uglova kod pravilnog mnogougla njegove osovine simetrije.

217. Definicije. Zajednički centar upisane ili opisane kružne linije zove se centar pravilnog mnogougla, a poluprečnik upisane kružne linije - njegova apotema.

Ugao između dva poluprečnika koji su povučeni u krajnje tačke kakve strane pravilnog mnogougla zove se centralni ugao. Mnogougao ima onoliko centralnih uglova, koliko ima strana svi su oni jednaki pošto se mere jednakim lucima.

Pošto je zbir svih centralnih uglova 360° ili 4d, onda će svaki od njih biti 4d:n, ili 360°:n, gde je n broj mnogouglovih strana; tako, centralni ugao pravilnog šestougla iznosi 60°, pravilnog osmougla 45° itd.

Zbir svih unutrašnjih uglova (§ 82) u mnogouglu sa n strana iznosi 2d(n-2). Prema tome, jedan unutrašnji ugao u pravilnom mnogouglu sa n strana iznosi:

2d·(n-2)/n

Na primer, u pravilnom osmouglu jedan unutrašnji ugao ima

2d·(8-2)/8=12·d/8=3d/2=135º

218. Teorema. Pravilni mnogouglovi s istim brojem strana su slični i njihove strane se odnose kao poluprečnici ili apoteme.

1. Da bi se dokazala sličnost (sl. 223) pravilnih istoimenih mnogouglova ABCDE i A₁B₁C₁D₁E₁, dovoljno je pokazati da su im uglovi jednaki a strane proporcionalne. Uglovi su jednaki jer imaju isti broj stepeni i to 180°·(n-2)/n gde je n broj strana. Pošto AB=BC=CD=... itd. i A₁B₁=B₁C₁=C₁D₁=... to je očevidno da će postojati proporcija:

   AB/A₁B₁=BC/B₁C₁=CD/C₁D₁=...., tj. da su strane proporcionalne.

2. Neka su O i O₁ (sl. 223) centri oba data mnogougla, OA i OA₁ - poluprečnici, a OM i OM₁ apoteme. Trouglovi OAB i O₁A₁B₁ su slični zbog jednakosti uglova. Iz njihove sličnosti sleduje:

   AB/A₁B₁=OA/O₁A₁=OM/O₁M₁

Posledica. Pošto se obimi dva slična mnogougla odnose kao odgovarajuće strane (§ 172), onda se obimi sličnih istoimenih mnogouglova odnose kao poluprečnici ili apoteme.

219. Zadatak. Izračunati stranu upisanu u krugu: 1) kvadrata; 2) pravilnog šestougla; 3) pravilnog trougla.

Obeležavaćemo dužinu strane pravilnog mnogougla koji ima n strana slovom a_n, njegov obim slovom p_n.

Obrasci za strane upisanog kvadrata, šestougla i trougla lako se mogu dobiti iz razmatranja slika 224, 225 i 226.

1. Na slici 224 povučena su dva uzajamno normalna prečnika AC i BD i njihove krajnje tačke spojene su tetivama; na taj način se dobio upisani kvadrat ABCD. 

   Iz pravouglog trougla AOB imamo: 

   AB²=AO²+OB²=2R²

   odakle 

   a₄=R√2.

    

   220.

2. Na slici 225 povučena je tetiva koja odgovara centralnom uglu od 60° (strana pravilnog upisanog šestougla). Pošto u ravnokrakom △AOB svaki od uglova A i B iznosi (180º-60º):2=60°, to je trougao AOB ravnostrani i, prema tome,

   AB=AO, tj. a₆=R.

   Na osnovu ovoga se dobija jednostavan način deljenja kružne linije na šest jednakih delova.

    

   221.

3. Na slici 226 kružna linija je podeljena na 6 jednakih delova i deone tačke, preko jedne, spojene su tetivama, tako da se dobio upisani ravnostrani trougao ABC. Povlačenjem tetive AD dobija se pravougli trougao ABD (ugao BAD je prav kao periferiski upisan u polukrugu).

   Iz △ABD imamo:

   AB=√(BD²-AD²)

   a₈=√ ((2R)² - R²)

   znači

   a₈=R√3.

222. Zadatak. U dati krug upisati pravilan desetougao i izračunati njegovu stranu kao funkciju poluprečnika.

Prethodno dokažimo važnu osobinu pravilnog 10-ugla. Neka je tetiva AB (sl. 227) strana pravilnog 10-ugla. Tada ugao AOB iznosi 36°, a svaki od uglova A i B iznosi po ½(180º-36°), tj. po 72°. Povucimo simetralu AC ugla A. Svaki ugao kod temena A ima sada po 36°; prema tome, △ACO je ravnokraki, pošto je ugao B=72° i ∢ACB=180º-72°-36°=72°; stoga je AB=AC=CO. Na osnovu osobine simetrale ugla u trouglu (§ 186) možemo napisati:

AO:AB=OC:CB     (1)

Zamenom AO i AB jednakim im dužima OB i OC dobijemo:

OB:OC=OC:CB     (2)

tj. poluprečnik OB podeljen je tačkom C po pravilu zlatnog preseka (§ 209), i to tako da je OC veća duž. Ali OC je jednaka strani pravilnog upisanog desetougla; znači, strana pravilnog upisanog 10-ugla jednaka je većem delu poluprečnika podeljenog po pravilu zlatnog preseka.

Sada se zadatak može lako rešiti:

1. Treba poluprečnik kruga (na primer OA, sl. 228) podeliti po pravilu zlatnog preseka; zatim uzeti otvor šestara jednak većem delu poluprečnika i preneti ga po kružnoj liniji; deone tačke se vezuju tetivama.

2.  Ako se strana pravilnog upisanog 10-ugla označi sa x, onda se proporcija (2) može ovako napisati:

   R:x=x:(R-x)

   x²+Rx-R²=0

   Rešavanjem ove kvadratne jednačine, nalazimo

   x=R·(√5-1)/2=R·0,61803.....

223. Napomene. 

1. Da bi se u dati krug upisao pravilan petougao, treba kružnu liniju podeliti na 10 jednakih delova (kao što je rečeno više) i spojiti tetivama parne ili neparne deone tačke.

2. Iz jednakosti:

   1/6-1/10=5/30-3/30=2/30=1/15

   vidi se da je petnaesti deo kružne linije razlika šestog i desetog dela Na taj način lako je upisati u krug pravilan petnaestougao, pošto znamo podelu kružne linije na 6 i 10 jednakih delova.

3. Da bi se konstruisala petokraka zvezda (sl. 229), treba kružnu liniju podeliti na 10 jednakih delova i jednu tačku spojiti tetivama sa svakom trećom tačkom (kao što se vidi iz slike).

224. Zadatak. Udvojiti broj strana pravilnog upisanog mnogougla

U ovom skraćenom izrazu formulisana su u stvari dva zadatka: 1) kad je dat pravilan upisani mnogougao, konstruisati drugi upisani pravilan mnogougao koji ima dvaput više strana. 2) izračunati stranu toga mnogougla kad je poznat poluprečnik i strana prvog mnogougla.

1. Neka je AB (sl. 230) strana upisanog pravilnog mnogougla sa n strana i O - centar kruga. Povucimo OC⊥AB i spojimo A sa C. Tačka C polovi luk AB; prema tome tetiva AC je strana pravilnog upisanog mnogougla sa 2n strana.

2. U △ACO ugao O uvek je oštar (pošto je luk ACB manji od polovine kružne linije); prema tome, njegova polovina, luk AC, manji je od četvrtine kružne linije; stoga (§ 194)

   AC²=OA²+OC²-2OC·OD

   t.j.

   a_2n²=R²+R²-2R·OD=2R²-2R·OD.

   Iz pravouglog △AOB odredimo katetu OD:

   OD=√(AO² - AD²)=√((R²-(a_n/2))²=√(R²-a_n²/4)

   Prema tome,

   a_2n²=2R²-2R√(R²-a_n²/4)

   Takav je obrazac za udvajanje broja strana pravilnog upisanog mnogougla (iz njega se strana a dobija izvlačenjem kvadratnog korena).

Primer. Izračunajmo stranu pravilnog upisanog dvanaestougla i uzmimo da je R=1 (i prema tome, a₆=1):

a₁₂²=2-2√(1-1/4)=2-2√3/4=2-√3

odakle

a₁₂=√(2-√3)=0,517...

Pošto su strane pravilnih istoimenih mnogouglova proporcionalne njihovim poluprečnicima, to za poluprečnik koji nije jednak jedinici, a jednak je R, za stranu pravilnog 12-ugla dobija se obrazac:

a₁₂ = R·√(2-√3)=R·0,517...

225. Na koliko jednakih delova može da se podeli kružna linija pomoću šestara i lenjira?

Primenom iznesenih u prethodnim zadacima konstrukcija mi možemo pomoću lenjira i šestara podeliti kružnu liniju na onoliko jednakih delova (a, prema tome, upisivati u kružnu liniju pravilne mnogouglove s odgovarajućim brojem strana), koji se nalaze u sledećoj tabeli:

Nemački matematičar Gaus (umro 1855) dokazao je da se kružna linija pomoću lenjira i šestara može podeliti na onoliko jednakih delova, koliko ih ima izraženih prostim brojem oblika +1. Na primer, kružna linija se može podeliti na 17 ili 257 jednakih delova, pošto su 17 i 257 prosti brojevi oblika +1 (17=2⁴+1; 257=2⁸+1). Gausov dokaz spada u višu matematiku.

Takođe je dokazano da se pomoću lenjira i šestara kružna linija može da podeli na onoliko jednakih delova, koliko ih ima izraženih složenim brojem čiji su prosti činioci samo oblika  +1  i 2ⁿ.

Na primer, u kružnu liniju pomoću šestara i lenjira može da se upiše pravilan 170-ugao

[170=2·5·17=2·(22+1)·(2⁴+1)]

Inače na jednake delove kružna linija može da se podeli samo približno. Treba, na primer, podeliti kružnu liniju na sedam jednakih delova (ili upisati pravilan 7-ugao). Prethodno izračunaćemo veličinu centralnog ugla; on iznosi 360°/7=51·3/7º. Mi ne možemo tačno konstruisati ovaj ugao, ali pomoću uglomera možemo preneti u centar ugao od 51° i tada ćemo približno dobiti 1/7 kružne linije.