Trigonometriske funkcije oštrog ugla

Tada će se dobiti pravougli trougao BMN. Razmotrimo razmere strana ovog trougla, i to: MN/BN tj. razmeru katete suprotne uglu α i hipotenuze;  BN/BM - razmeru nalegle katete i hipotenuze, MN/BN - razmeru suprotne i nalegle katete, kao i njihove recipročne vrednosti:

BM/MN;    BM/BN;    BN/MN

Veličina svake od ovih šest razmera ne zavisi od položaja tačke M na strani BC. Zaista, ako mesto tačke M uzmemo koje druge tačke M' i M" i spustimo normale M'N', M"N", onda će dobijeni trouglovi BM'N' i BM"N" biti slični trouglu BMN pošto imaju jednake odgovarajuće uglove. Kako su u sličnim trouglovima strane proporcionalne, onda

MN/BN=M'N'/BN'=M"N"/BN"=...

BN/MN=BN'/M'N'=BN"/M"N"=... itd.

Veličina svake razmere takođe ne zavisi od toga na kojoj je strani ugla uzeta tačka M. Ako, na primer, uzmemo tačku M₁ (ista slika) na strani BA i povučemo M₁N₁⊥BC, onda će pravougli trougao BM₁N₁ biti sličan trouglu BMN pošto imaju zajednički oštri ugao α; stoga:

M₁N₁/BM₁=MN/BM=... itd.

Na taj način uzete razmere ne zavise od promene položaja tačke M na jednoj ili drugoj strani ugla, ali naravno da one zavise od veličine samog ugla.

Svakoj veličini ugla α odgovara potpuno određena vrednost svake od ovih razmera.

Stoga se može reći da je svaka razmera funkcija samog ugla i karakteriše sobom veličinu toga ugla.

Ove razmere se zovu trigonometriske funkcije ugla. Najčešće se upotrebljavaju sledeće četiri razmere, koje su dobile posebna imena: Razmera katete suprotne uglu α i hipotenuze zove se sinus ugla α i obeležava se: sin α; razmera nalegle katete uglu α i hipotenuze zove se kosinus ugla α i obeležava se: cos α; razmera suprotne i nalegle katete zove se tangens ugla α obeležava se: tg α; razmera nalegle i suprotne katete (recipročna vrednost tangensa) zove se kotangens ugla α i obeležava se ctg α.

Pošto su katete manje od hipotenuze, onda su sinus i kosinus manji od jedinice, a pošto jedna kateta može da bude i veća i manja od druge katete, ili jednaka njoj, onda tangens i kotangens mogu da budu izraženi brojevima većim od 1, manjim od 1, ili su jednaki 1.

204. Konstrukcija ugla kad je data jedna njegova trigonometriska funkcija. 

1. Treba konstruisati ugao čiji je sinus 3/4. Ima da se konstruiše takav pravougli trougao kod koga razmera jedne katete i hipotenuze iznosi 3/4 pa uzeti ugao prema toj kateti. Da bi se konstruisao takav trougao, uzmimo neku malu duž i prenesimo duž AB (sl. 212) jednaku četvorostrukoj uzetoj duži. Nad AB, kao nad prečnikom, opišimo polukrug, a otvorom šestara jednakim 3/4 hipotenuze iz tačke B opišimo kružni luk do preseka u tački C s polukrugom. Spajanjem tačke C sa A i sa B dobijamo pravougli trougao kod koga ugao A ima sinus 3/4.

2. Data je jednačina: cos x=0,7; konstruisati ugao x. Ova zadatak se rešava kao prethodni: za hipotenuzu uzmimo duž AB (ista slika) koja ima 10 jednakih delova, a za naleglu katetu duž AC od sedam istih delova; tada će ugao A biti traženi ugao.

3. Konstruisati ugao x kad se zna da je tg x=1·1/2. Ima da se konstruiše pravougli trougao kod koga je jedna kateta 1·1/2 puta veća od druge. Na jednu stranu pravoga ugla (sl. 213) prenosimo proizvoljnu duž AB a na drugu duž AC jednaku 1·1/2AB. Spajanjem tačaka B i C dobijamo ugao B čiji je tangens  1·1/2.

205. Menjanje trigonometrijskih funkcija kad se ugao menja od 0° do 90°. Da bi se moglo bolje posmatrati menjanje sinusa i kosinusa kad se menja veličina ugla, pretpostavićemo da se hipotenuza ne menja i ostaje stalna, a menjaju se samo katete. Opišimo poluprečnikom OA (sl. 214), koji je jednak proizvoljnoj dužinskoj jedinici, četvrtinu kružne linije AM i uzmimo ma kakav centralni ugao AOB=α. Spuštanjem iz tačke B na poluprečnik OA normale BC, imaćemo:

sin α=BC/OB=BC/1=brojnoj vrednosti BC;

cos α=OC/OB=OC/1=brojnoj vrednosti OC.

Zamislimo sada da se poluprečnik OB obrće oko centra O u smislu obeleženom na slici strelicom, počev od OA do OM.

Tada će se ugao α povećavati od 0° do 90° (prelazeći preko označenih na slici položaja AOB, AOB', AOB" itd.); brojna vrednost katete BC, suprotne uglu, stalno raste od 0 (za α=0º) do 1 (za α=90°), dok brojna vrednost katete OC, nalegle uglu, stalno otpada od 1 (za α=0°) do 0 (za α=90°). Na taj način, kada se ugao povećava od 0° do 90°, njegov sinus raste od 0 do 1 a, kosinus opada od 1 do 0.

Posmatrajmo sada menjanje tangensa. Pošto je tangens razmera suprotne i nalegle katete, onda je zgodno pretpostaviti da nalegla kateta, jednaka dužinskoj jedinici, ostaje nepromenljiva, a da se menja druga kateta. Uzmimo duž AB, jednaku dužinskoj jedinici (sl. 215), za nepromenljivu katetu u trouglu AOB, čiji se oštar ugao AOB=α menja.

Prema definiciji, tg α=AB/OA=AB/1=brojnoj vrednosti AB. Neka se sada tačka B premešta duž AN, počev od A, sve dale i dalje od A preko položaja B', B" itd.; tada će se, kao što se vidi iz slike, ugao α i njegov tangens povećavati, i to kada se pokretna tačka B nalazi u A, ugao α=0° i njegov tangens jednak je 0. Kada se tačka B penje po AN sve više i više, ugao α raste i teži ka uglu AOM=90°, a brojna vrednost tangensa postaje sve veća i može da postane veća od svakog velikog broja, ma koliko da je velik taj broj (raste neograničeno). Znači kad ugao raste od 0° do 90°, njegov tangens raste neograničeno.

Za jednu promenljivu količinu koja neograničeno raste kaže se da raste do beskonačnosti, pri čemu se reč "beskonačnost" obeležava znakom ∞; prema tome promena tangensa može ovako da se izrazi: kad ugao raste od 0° do 90° tangens raste od 0 do ∞.

Iz definicije kotangensa (§ 203) sleduje da je on recipročna vrednost tangensa (ctg α=1:tg α); stoga kada tg α raste od 0 do ∞, ctg α opada od ∞ do 0.

206. Tablice trigonometriskih funkcija. Na kraju udžbenika nalaze se tablice trigonometriskih funkcija (sa 5 decimala) svih uglova izraženih celim brojem stepeni od 1º do 90º. Tablice imaju sledeći raspored. U prvom levom stupcu (iznad koga stoji: „stepeni“) nalaze se brojevi stepena: 1, 2, 3, ... do 45; u drugom stupcu (iznad koga stoji: „sinusi") nalaze se vrednosti sinusa odgovarajućih uglova u prvom stupcu.

U trećem stupcu nalaze se vrednosti kosinusa, zatim tangensa i kotangensa. U poslednjem, 6 stupcu, ponovo su ubeleženi stepeni, i to: 90°, 89°, 88°, 87° itd. do 45°. Ovo je učinjeno (radi uštede mesta) na osnovu toga što je, shodno definiciji sinusa i kosinusa (§ 203), sin α=cos (90º-α), cos α=sin (90º-α) itd. Znači, sin 1º=cos 89°, sin 2º=cos 88° itd. Stoga pri dnu drugog stupca, iznad koga gore stoji natpis: „sinusi", stoji: „kosinusi";  pri dnu toga stupca (3 s leva), iznad koga stoji: „kosinusi", nalazi se natpis: „sinusi“ i t. sl. Na taj način, za uglove od 1º do 45º čitamo stepene u I stupcu s leva a natpise trigonometrijskih funkcija s gornje strane; za uglove od 45° do 89° čitamo uglove u poslednjem stupcu s desna, a natpise funkcija s donje strane. Na primer, iz tablica nalazimo: tg 35°=0,70021, cos 53º=0,60182, tg 72°=3,07768 i t. sl.

Pomoću ovih tablica mogu da se odrede ne samo trigonometrijske funkcije datog ugla, već, obrnuto, po datoj funkciji nepoznatog ugla da se nađe (približno) i sam ugao. Neka, na primer, treba da se nađe ugao x čiji je sinus 0,61523. Tražimo u stupcima sinusa broj najbliži 0,61523. Takav je broj 0,61566=sin 38°. Pošto je 0,61523˂0,61566, onda je x˂38º. Ali s druge strane, 0,61523>0,60182 (poslednji broj se nalazi u tablicama iznad 0,61566 i označuje sin 37°); Stoga je x>37°. Mi smo na taj način našli dva ugla 37° i 38° između kojih se nalazi ugao x. Znači, ako uzmemo ugao od 37° ili ugao od 38°, onda ćemo u prvom slučaju odrediti manju približnu vrednost ugla x, a u drugom slučaju veću približnu vrednost; u obadva slučaja tačnost je do 1°. Prvenstveno treba da se uzme onaj ugao čiji se sinus što manje razlikuje od datoga u (našem primeru bolje je da se uzme 38°).

Treba naći ugao x iz jednačine: ctg x=0,7826. U stupcu kotangensa nalazimo: 0,78129=ctg 52°; 0,80978=cotg 51°. Pošto je 0,80978>0,7826>0,78129 onda je 51°<x<52°, pri čemu x je bliže ka 52°; stoga je bolje da se uzme da je x=52° (tačnost do 1°).

207. Odnos između strana i uglova pravouglog trougla.

1.  Iz pravouglog trougla ABC nalazimo (sl. 216):

   b/a=sin B;  c/a=cos B;

   odakle b=a·sin B;  c=a·cos B.

   Kako je B=90°-C, to sin B=cos C i cos B=sin C; znači da se prethodne jednačine mogu dopuniti ovako:

   b=a·sin B=a·cos C;   c=a·cos B=a·sin C.

   Na taj način, kateta pravouglog trougla jednaka je proizvodu iz hipotenuze i sinusa suprotnog ili kosinusa naleglog ugla.

2. Iz istog trougla imamo:

   b/c=tg B;   c/b=ctg B;

   odakle: b=c·tg B; c=b·ctg B.

   Ali tg B=ctg (90°-B)=ctg C i ctg B=tg (90º-B)=tg C;

   prema tome možemo napisati: 

   b=c·tg B=c·ctg C;  c=b·ctg B=b·tg C,

    t.j. kateta jednaka je proizvodu druge katete i tangensa suprotnog ili kotangensa naleglog prvoj kateti ugla.

208. Rešavanje pravouglih trouglova. Izvedeni odnosi daju nam mogućnost da se rešavaju pravougli trouglovi, tj. da se izračunaju njihovi elementi ako su poznati neki od njih. Navešćemo primer.

Primer. U pravouglom trouglu poznata je hipotenuza a=4,5 i ugao C=42°. Naći katete i ugao B.

b=a·cos C=4,5·cos 42°; c=a·sin C=4,5·sin 42º.

Iz tablica nalazimo (sa četiri decimala): 

sin 42°=0,6691, cos 42°=0,7431.

Znači: b=4,5·0,7431=3,34395;   c=4.5·0,6691=3,01095,

B=90°-C=48°.