257. Teorema. Zbir površina kvadrata konstruisanih nad katetama pravouglog trougla jednak je površini kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom.
Ova teorema je drugi oblik Pitagorinog pravila dokazanog u § 191; kvadrat mernog broja hipotenuze jednak je zbiru kvadrata mernih brojeva kateta. Zaista, kvadrat mernog broja duži predstavlja merni broj površine kvadrata nad tom duži. Stoga je teorema 191 ekvivalentna Pitagorinom pravilu.
Dajemo drugi dokaz Pitagorinog pravila koji se ne osniva na izračunavanju površina nego na neposrednom njihovom upoređivanju.
Euklidov dokaz. Neka je ABC (sl. 255) pravougli trougao, a BDEA, AFGC i BCKH - kvadrati konstruisani nad katetama i hipotenuzom; treba da se dokaže da je zbir površina prva dva kvadrata jednak površini trećeg kvadrata.
Povucimo AM⊥BC. Tada će se kvadrat BCKH podeliti na dva pravougaonika. Dokažimo da je pravougaonik BLMH jednak kvadratu BDEA, a pravougaonik LCKM jednak je kvadratu AFGC.
Povucimo pomoćne prave DC i AH. Razmotrimo dva trougla, osenčena na slici. △DCB, koji ima sa kvadratom BDEA zajedničku osnovicu BD, a visinu CN, jednaku visini AB ovog kvadrata, jednak je polovini kvadrata △ABH, koji ima sa pravougaonikom BLMH zajedničku osnovicu BH, a kome je visina AP jednaka visini BL ovog pravougaonika, jednak je polovini pravougaonika. Upoređujući ova dva trougla, vidimo da su im BD=BA i BC=BH (kao strane kvadrata); sem toga ∢DBC=∢ABH, pošto se svaki od njih sastoji iz zajedničkog dela ABC i pravog ugla. Znači, trouglovi ABH i BDC su podudarni. Odatle sleduje da je pravougaonik BLMH jednak kvadratu BDEA. Spajanjem G ca B i A sa K, na isti način može da se dokaže da je pravougaonik LCKM jednak kvadratu AFGC. Znači, kvadrat BCKH jednak je zbiru kvadrata BDEA i AFGC
258. Zadatak. 1) Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka zbiru površina dva data kvadrata.
Konstruišimo pravougli trougao čije su katete strane datih kvadrata. Kvadrat nad hipotenuzom imaće površinu jednaku zbiru površina datih kvadrata.
2) Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka razlici površina dva data kvadrata.
Konstruišimo pravougli trougao čija je hipotenuza jednaka strani većeg kvadrata a kateta strani manjeg kvadrata. Kvadrat nad drugom katetom biće traženi kvadrat.
3) Konstruisati kvadrat čija se površina odnosi prema površini datog kvadrata kao m:n.
Na proizvoljnu pravu prenosimo (sl. 256) AB=m i BC=n, i nad AC, kao nad prečnikom, opišimo polukrug: Iz tačke B podignimo normalu BD do preseka sa polukrugom. Povucimo tetive AD i DC, dobijemo pravougli trougao kod koga je (§ 192):
AD2:DC2=AB:BC=m:n.
Na katetu DC prenesimo duž DE jednaku strani datog kvadrata i povucimo EF∥CA 1). Duž DF je strana traženog kvadrata, pošto je
1) Ako je strana datog kvadrata veća od DC, onda tačke E i F leže na produženju kateta DC i DA.
DF/DE=AD/DC, odakle (DF/DE)2=(AD/DC)2
prema tome,
DF2:DE2=AD2:DC2=m:n