Cilindrični zupčanici

Zupci i međuzublja kod zupčanika slede u određenim, međusobno jednakim razmacima, tako da podeoni krug treba da sadrži toliko koraka »t« koliko točak ima zubaca, tj.

$z\cdot t=D\cdot \pi $

ili

$D=z\cdot \frac{t}{\pi }$

Ovdje je »z« broj zubaca točka, a D je prečnik podeonog kruga. Iz praktičnih razloga prečnici podeonih krugova spregnutih cilindričnih zupčanika, a prema njima i razmak vratila treba, po mogućnosti, da budu celi brojevi. To se postiže tako što se korak uzme kao višekratna vrednost od π. Ovaj množilac se obeležava slovom »m« i zove se modul zupčanika:

$t=\frac{D\cdot \pi }{z}$

ili

$m=\frac{t}{\pi }$

Ako se ovo stavi u prethodnu jednačinu, izraz za prečnik podeonog kruga prima oblik

$D=m\cdot z$

tj. prečnik podeonog kruga jednak je proizvodu modula i broja zubaca.

Iz jednačine D=m·z sledi da je m=D/z, tj. modul je deo prečnika podeonog kruga izražen u milimetrima, kao što je korak deo obima istog kruga:

$t=\frac{D\cdot \pi }{z}$

Sl. 12

Stoga je »t« korak na obimu, a »m« korak na prečniku. Ovaj odnos između modula i koraka prikazan je na sl. 12 Vrednosti modula su standardizovane od 0,3-75 mm i to tako da za m=4-7 mm razlika između dve uzastopne vrednosti modula iznosi 0,5 mm;

• za m=7-16 mm razlika iznosi 1 mm

• za m=16-24 mm razlika iznosi 2 mm

• za m=24-45 mm razlika iznosi 3 mm

• za m=45-75 mm razlika iznosi 5 mm.

Modul gotovog zupčanika ne može se odrediti neposredno na osnovu formule m=D/z, pošto podeoni krug na zupčaniku nije naznačen, pa mu se ne može izmeriti prečnik. Za praktično određivanje modula nekog gotovog zupčanika služi spoljašnji prečnik D koji se može lako izmjeriti. Spoljašnji prečnik zavisi od visine zupca koja se takođe bira u zavisnosti od modula.

Visina zupca »h« sastoji se od visine glave »h1« i visine korena »h2«:

$h=h_1+h_2$

Kod normalnog zupčanja visina glave zupca uzima se h₁=m. Visina korena je iz praktičnih razloga nešto veća od visine glave, tako da između spoljašnjeg kruga jednog točka i unutrašnjeg kruga drugog postoji izvesni čeoni zazor »c«, sl. 13. Visina korena obično iznosi h₂=1,2·m. Tada je cela visina zupca:

$h=m+1,2\cdot m=2,2\cdot m$

Slika 13

Pri normalnom zupčanju spoljašnji prečnik zupčanika se izračuna, prema tome, na osnovu jednačine:

$D_S=D+2 \ h_1=D+2 \ m=m \ z+2 \ m$

ili

$D_S=m·(z+2)$

Na osnovu ove formule može se odrediti modul zupčanika sa »z« zubaca, samo ako se izmeri spoljašnji prečnik zupčanika D_S:

$m=\frac{D_S}{z+2}$

Debljina zupca »s« meri se u luku na podeonom krugu. Teorijski, debljina zupca treba da je jednaka širini međuzublja, tj. s=e=t/2. Ali, s obzirom na greške pri izradi, ekscentričnost točkova, netačnost montaže, podmazivanje, širenje usljed zagrejavanja i sl., debljina zupca treba da je nešto manja od širine međuzublja, da bi između bokova spregnutih zubaca postojao sa neradne strane bočni zazor

$a=e-s$   sl.13

Veličina bočnog zazora zavisi od tačnosti obrade zubaca i iznosi za neobrađene zupčanike:

$a=(0,15-0,16)·m$

a za obrađene:

$a=(0,08-0,04)·m$

gde je »m« modul u milimetrima.

S obzirom na mogućnost međusobnog zamenjivanja zupčanika, ova razlika se podeli na oba spregnuta točka podjednako, tj. svaki točak tada ima debljinu zupca s=0,5t-a/2 i širinu međuzublja e=0,5t+a/2. Jasno je da će se pri radu ovakvih zupčanika uspostaviti na podeonom krugu bočni zazor veličine 2·a/2=a. Kod evolventnog zupčanja bočni zazor dobije se na taj način što pri izradi zubaca nož ide u venac točka za veličinu »δ_m« dublje nego što to odgovara teorijskom profilu bez bočnog zazora. Tada se za obrađene zupce pri normalnom zupčanju uzima δ=(0,12-0,06)m. Kod zupčanika koji su izrađeni bez bočnog zazora među zupcima, tj. kod kojih je s=e=t/2, potreban zazor dobije se pri montaži povećanjem razmaka vratila A za veličinu (0,12-0,06)m. Pri crtanju zubaca obično se ne uzima u obzir bočni zazor.

Ako bi zupci jednog od spregnutih točkova imali, usled znatno manje čvrstoće upotrebljenog materijala ili usljed nepovoljnog oblika zupca, manju otpornost nego zupci drugog točka, tada takvi točkovi dobijaju zupce različitih debljina. Tako npr., točkovi sa drvenim zupcima pri sprezanju sa točkovima od livenog gvožđa imaju zupce debljine s=0,6t i međuzublja širine e=0,4t, dok je kod točka od livenog gvožđa s=0,38t i e=0,62t.

Dužina zupca »b« zavisi od kvaliteta obrade zubaca, tačnosti sklapanja i od valjanosti oslonaca. Ukoliko su bolje ispunjeni uslovi za paralelnost vratila, utoliko veća može biti dužina zupca. U slučaju iskošenja vratila, zupci prenose obrtni momenat samo krajevima i tada, usled preopterećenja lako može nastupiti lomljenje zubaca u uglovima. Dužina zupca računa se u zavisnosti od modula i za opštu primenu kreće se u granicama

$b = (6-25) \cdot m \, [mm]$,    sl. 14

Slika 14

Danas se u opštem mašinstvu zupčasti prenosnici grade po mogućnosti sa što većom dužinom zubaca, kako bi vrednost modula bila manja, a time i manji prečnici točkova.

Prenosni odnos. Neka su »n₁« i »n₂« brojevi obrta u minuti kod spregnutih točkova, »ω₁« i »ω₂« - ugaone brzine, D₁ i D₂ - prečnici podeonih krugova, a »z₁« i »z₂« - brojevi zubaca. Pri radu zupčanika podeoni krugovi nalaze se u neprekidnom dodiru i stoga imaju iste obodne brzine, tj.

$v = v_1 = v_2 = \frac{D_1 \ \pi \ n_1}{60} = \frac{D_2 \ \pi \ n_2}{60}$

$D_1 n_1 = D_2 n_2$

ili

$\frac{n_1}{n_2} = \frac{D_2}{D_1} = i$

Pošto je n₁/n₂=ω₁/ω₂ vrednost prenosnog odnosa može se izraziti na ovaj način:

$i = \frac{n_1}{n_2} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{D_2}{D_1}$

Nadalje, deljenjem ranije dobijenih jednačina:

$D_1 = m z_1$

$D_2 = m z_2$

dobije se odnos

$\frac{D_2}{D_1} = \frac{z_2}{z_1}$

Stoga opšti izraz za prenosni odnos ima oblik

$i = \frac{n_1}{n_2} = \frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{D_2}{D_1} = \frac{z_2}{z_1}$

Ako prenosni odnos nije unaprijed zadan, već se on može pri konstruisanju slobodno izabrati, treba imati u vidu da se lagan hod zupčanika može dobiti u srazmerno kratkom vremenu uzajamnim prilagođavanjem zubaca u samom radu. Ovo se najlakše postiže tada kada jedan isti par zubaca što češće dolazi u međusobni zahvat. U ovom je smislu najpovoljniji prenos i=1:1; manje povoljni prenosi jesu: i=2, i=3, i=4..., odnosno i=1/2, 1/3, 1/4... Tada npr. kod prenosa i=5, jedan isti zubac prvog točka radi uzastopce sa svakim petim zupcem drugog točka. Još su manje povoljni prenosi i=3/2, 5/2, 7/2... Ali u smislu uzajamnog prilagođavanja zubaca i ove prenose treba pretpostaviti prenosima i=4/3, 5/3, 7/3, 5/4, 7/4. Najnepovoljniji je slučaj kad je prenos predstavljen količnikom relativno prostih brojeva, npr. i=25/31, 27/34...

Ali, u praksi ima slučajeva kada za brojeve zubaca treba izabrati baš relativno proste brojeve. Ovo dolazi u slučajevima kad se obrtni momenat, koji napreže zupčanik, periodički menja, ili kad se pri radu zupčanika dešavaju udari. Tada bi zupci koji bi stalno primali maksimalni momenat, odnosno udar, brzo dotrajali i točkovi bi se morali zameniti. Stoga se često, pri jako promjenljivim opterećenjima, ako prenosni odnos nije izražen relativno prostim brojevima, uvodi u prenos tzv. »zub lovac«. Neka npr. imamo dva točka sa po 60 zubaca svaki, tako da je prenosni odnos i=1:1. To znači da pri svakom punom obrtu zupčanika jedan isti zubac prvog točka dolazi u zahvat sa uvijek istim zupcem drugog točka. Ako se sada izradi jedan od zupčanika ne sa 60 zubaca, već sa 61, prenosni odnos pri tome gotovo se i ne mijenja, naime i=z2/z1=61/60=1,017. Ali će sada jedan isti zubac prvog točka doći u zahvat sa jednim istim zupcem drugog tek nakon 60 obrta drugog točka, usled čega će se udari rasporediti na znatno veći broj zubaca, što je naročito bitno za vek trajanja prenosnika.

Prenosni odnos koji se može postići sa jednim parom zupčanika ograničen je iz konstruktivnih i praktičnih razloga i obično nije veći od i=8:1 pri prenosu sa brzog na lagano kretanje, odnosno nije manji od i=1:8 pri prenosu sa laganog na brzo kretanje. Za jače prenosne odnose (i>8, odn. i<1/8) moraju se upotrebiti složeni prenosi, tj. prenosi sastavljeni od više pari zupčanika. U tom slučaju ukupni prenosni odnos jednak je proizvodu pojedinih prenosnih odnosa:

$i = i_1 \cdot  i_2 \cdot  i_3 ...$

gde je »i₁« prenosni odnos između I i II vratila, »i₂« prenosni odnos između II i III vratila itd.

Iz prenosnog odnosa prvog para zupčanika

$i = \frac{n_1}{n_2} = \frac{z_2}{z_1}$

izlazi da je broj obrta II vratila

$n_2=n_1 \ \frac{z_1}{z_2} \quad$  sl. 15.

Na isti način

$i_2 = \frac{n_2}{n_3} = \frac{z_4}{z_3}$

a,

$n_3=n_2 \ \frac{z_3}{z_4}$

ili, ako se vrednost »n₂« zameni na osnovu prethodne jednačine, dobije se

$n_3=n_1 \ \frac{z_1}{z_2} \ \frac{z_3}{z_4}$

Ako se u sistemu prenosa nalaze tri para zupčanika, broj obrta prijemnog vratila određen je tada jednačinom

$n_3=n_1 \ \frac{z_1}{z_2} \ \frac{z_3}{z_4} \ \frac{z_5}{z_6}$

Slika 15

Ove jednačine daju vrlo jednostavno praktično pravilo: broj obrta prijemnog vratila, pri složenom zupčastom prenosu sa proizvoljnim brojem pari zupčanika, dobije se na taj način što se u gornju jednačinu stave brojevi zubaca prenosnika onim redom kojim se prenosi i obrtni momenat. U šemi na sl. 15. prikazan je prenos sa dva para zupčanika pomoću kojih se snaga prenosi od motora M na vratilo III, kao što to pokazuju strelice.