Brzina zvuka i Mahov broj

1. Stišljivost fluida

Fluid je zajedničko ime za tečnosti i gasove.

Strogo govoreći svi fluidi su stišljivi, što znači da usled promene pritiska i temperature menjaju svoju zapreminu, pa prema tome i jediničnu masu.

Tečnosti se snažnije odupiru promeni zapremine nego gasovi, što znači da za istu relativnu promenu zapremine kod tečnosti treba proizvesti znatne pritiske i temperature.

Tako voda pod dejstvom povećanja pritiska od 1 At pri stalnoj temperaturi izmeni svoju zapreminu svega za 1/21 000 deo prvobitne zapremine, odnosno za 0,00476%. Da bi voda izmenila svoju zapreminu za 1% pritisak bi se morao povećati za 210 At.

Sličan je slučaj i kod drugih tečnosti. Tako glicerin promeni svoju zapreminu pri pritisku od 1 At na normalnoj temperaturi za 0,0025%, benzol za 0,0088%, a alkohol za 0,011%.

Kod gasova, pak, kad posmatramo promenu zapremine pa prema tome i jedinične mase pri povećanju pritiska od 1 At na 2 At a pri stalnoj temperaturi (zakon Bojl-Marijota) zapremina će se smanjiti za 50% od prvobitne.

Neka se gas nalazi pod pritiskom (p) i pri tome neka mu je jedinična masa (ρ). Ako se pritisak izmeni za neku malu vrednost (Δp), a pri tome nije došlo do razmene toplote između posmatrane količine gasa i okoline, a proces je povratan, tj. izentropski, promeniće se i jedinična masa za neku veličinu (Δρ ).

Odnos elementarnih promena pritiska i jedinične mase srazmeran je odnosu prvobitnog pritiska i jedinične mase. Sačinilac srazmernosti je (k), odnos jedinične toplote pri stalnom pritisuk (p) i pri stalnoj zapremini (v). Ovo se može napisati u sledećem obliku:

   (1)

Ovaj izraz pretstavlja tzv. diferencijalnu jednačinu izentropskog procesa. Ako je promena pritiska (Δp) dovoljno mala, tada se promena jedinične mase (Δρ) može zanemariti i gas smatrati nestišljivim.

Granica zanemarivanja promene jedinične mase zavisi od problema koji se posmatra. Ako se, naprimer, može zanemariti promena jedinične mase vazduha od 1%, tada relativna promena pritiska ne sme preći veću vrednost nego što nam to daje jednačina (1), tj.

odnosno

Relativna promena pritiska ne može biti veća od 1,40%. Ako je pritisak p = 10333 kg/m2 promena pritiska ne sme biti veća od:

Pritisak kod vazduha je u neposrednoj vezi sa fizičkom prirodom vazduha. Vazduh se sastoji iz molekula koji su u stalnom pokretu. Pri kretanju molekuli se sudaraju jedan sa drugim i udaraju o površine drugih tela. Zbir svih pojedinačnih udara molekula vazduha koji se kreću velikom brzinom i bez reda, na jedinicu površine, jeste pritisak.

Ako se neko telo kreće kroz vazduh nekom brzinom, onda ono svojim prisustvom remeti kretanje molekula pa prema tome i pritisak. Ova promena pritiska je utoliko veća, ukoliko je veća brzina, a prenosi se od molekula do molekula u svim pravcima. Molekuli su zapravo nosioci rasprostiranja pritiska.

Vrlo često se vazduh smatra nestišljivim. Međutim, pretpostavka o nestišljivosti vazduha prema ovome ima svoju osnovu samo za male brzine. Za veće brzine ova pretpostavka nije održiva, te se mora primenjivati teorija stišljivih fluida.

2. Prostiranje impulsa kroz fluid

Posmatrajmo jednu ploču koja se nalazi u nekom fluidu - recimo klip u nekoj cevi ispunjenoj fluidom kao na slici 1.

Ako brzo i kratkotrajno pomerimo klip duž cevi, to će učiniti da se pojavi kratkotrajni impuls koji će izazvati u prvom fluidnom sloju, koji naleže na klip, sabijanje i povišenje pritiska. Ova promena pritiska izazvaće sabijanje, odnosno razređenje u drugom sloju fluida pa prema tome i promenu pritiska u njemu, što dalje izaziva promene u sledećem sloju itd.

Sabijanje odnosno razređivanje prenosiće se od sloja do sloja izvesnom konačnom brzinom.

Ako je brzina prostiranja impulsa odnosno promene pritiska (c), to će se promene u fluidu za neki vrlo mali deo vremena (Δt) osetiti na otstojanju (c · Δt) od klipa ili kako se to kaže od izvora poremećaja.

Neka impuls sabijanja odnosno razređenja izaziva promenu pritiska (Δp) i promenu jedinične mase (Δρ). Tada će promena mase (Δm), ako je (S) površina poprečnog preseka cevi, biti:

Promenu pritiska (Δp) izazvala je sila:

Kako je impuls sile jednak promeni količine kretanja to dobijamo:

odnosno:

Odavde dobijamo:

 (2)

Brzina prostiranja kratkotrajnog impulsa i njime izazvanih promena pritiska kroz fluid određuje se iz promene jedinične mase i promene pritiska nastale od ovog impulsa.

3. Brzina zvuka

Zvuk je po svojoj prirodi niz kratkotrajnih impulsa koji nastaju učestalim treptajima izvora zvuka. Ovo izaziva učestale male poremećaje sredine koji se prostiru kroz nju brzinom prostiranja promene pritiska odnosno brzinom određenom jednačinom (2).

Prema tome, brzina zvuka jednaka je brzini kojom se kroz neki fluid prenose promene pritiska neznatne jačine, odnosno:

(3)

Prenošenje zvuka, odnosno prenošenje promene pritiska neznatne jačine vrši se kroz neki gas bez gubitka energije, tj. promene su izentropske.

Ako iz jednačine (1) koja nam pretstavlja izentropski proces zamenimo vrednost Δp/Δρ u jednačinu za brzinu zvuka ona postaje:

(4)

Praktički ipak ima izvesnih gubitaka koji dolaze usled viskoznosti što dovodi do toga da se zvuk gubi sa povećanjem otstojanja od izvora.

Međutim, ovi gubici su vrlo mali. Tako, na primer, zvučnici jednog srednje-tonskog bioskopskog aparata pretvaraju u zvučnu energiju samo 2 do 4 (W) što za proizvedeni efekat pretstavlja vrlo malu snagu.

Nasuprot ovome, prostiranje znatnih poremećaja pritiska, recimo pri eksplozijama, ne može da se smatra izentropskim i brzine prostiranja ovakvih talasa su vrlo različite od brzine zvuka.

Pri eksplozijama nastaju ogromne razlike pritisaka između centra eksplozije i okoline usled čega bivaju odbacivane velike količine vazduha. Znači imamo prostiranje, ne samo impulsa kroz relativno miran vazduh kao kod brzine zvuka, već znatnih vazdušnih masa i to vrlo velikim brzinama. Udaljavanjem od izvora eksplozije vrši se prigušivanje i znatna razmena toplote, te brzina prostiranja talasa eksplozije opada težeći brzini zvuka.

Povezujući dobijenu jednačinu za brzinu zvuka (4) sa jednačinom stanja gasa (p/ρ = g · R · T) dobićemo:

(5)

Iz ove jednačine možemo izvesti sledeći zaključak:

Za određeni gas brzina zvuka zavisi samo od temperature.

Za vazduh imamo:

te jednačina (5) daje za brzinu zvuka kroz vazduh:

Kroz vazduh temperature 15°C odnosno 288°K što odgovara nultoj visini u MSA zvuk će se prostirati brzinom od:

Brzina zvuka menja se sa povećanjem visine zavisno od promene temperature (pošto samo od nje zavisi) te imamo:

U troposferi MSA brzina zvuka menja se sa visinom po sledećem zakonu:

Ovde nam (h) pretstavlja visinu u metrima.

Za ovaj sloj MSA može se primenjivati za brzinu zvuka i sledeći praktičan obrazac:

U stratosferi MSA pošto je temperatura stalna i iznosi T = 216°K i brzina zvuka se ne menja sa visinom i iznosi:

Promene brzine zvuka sa visinom mogu se videti na dijagramu sl. 2.

4. Kretanje zvučnog izvora kroz vazduh

Pod zvučnim izvorom podrazumevamo svako telo koje svojim treptajima ili pak svojim kretanjem izaziva u fluidu promene pritiska neznatne jačine.
Ako imamo u mirnom vazdušnom prostoru nepomični zvučni izvor u tački (O) koji treperi, tada će se poremećaji izazvani ovim poremećajima širiti kroz vazduh u vidu koncentričnih loptastih talasa čije je središte u (O) (sl. 3).

Pritisak izazvan ovim treptajima širi se radijalno kroz čitav prostor istom jačinom.

Kako je brzina prostiranja zvuka (c) to će se uticaj prvog poremećaja na kraju prve jedinice vremena (sekunda) osetiti u lopti poluprečnika (c). Tokom druge sekunde ovaj uticaj će se proširiti na čitav prostor obuhvaćen loptom (2c) itd.

Neka se ovaj zvučni izvor započne da kreće brzinom (v), ili neka vazduh počne da struji oko nepomičnog izvora istom brzinom. Svojim kretanjem odnosno prisustvom u struji izazvaće poremećaje pritiska i jedinične mase u toj sredini. Ovi poremećaji rasprostiraće se kroz prostor u vidu loptastih talasa. Pri ovom kretanju mogu da nastanu tri slučaja:

• brzina kretanja izvora manja je od brzine zvuka (v < c)

• brzina kretanja izvora jednaka je brzini zvuka (v = c)

• brzina kretanja izvora veća je od brzine zvuka (v > c).

Kretanje podzvučnom brzinom (v < c)

Po isteku prve sekunde izvor će biti udaljen od svog početnog položaja za dužinu (v). Za to vreme poremećaj izazvan na početku kretanja proširiće se na loptu poluprečnika (c) (sl. 4 pod a).

U ovom periodu talas će se nalaziti u smeru kretanja izvora na udaljenju (c - v) od trenutnog položaja izvora (1) a na (c + v) u suprotnom smeru.

Na kraju sledeće sekunde izvor će biti na udaljenju (2·v), a poremećaj od prvog impulsa će se pro- širiti na loptu poluprečnika (2·c). Poremećaj od impulsa nastalog na kraju prve sekunde proširiće se na loptu poluprečnika (c), čije je sedište u (1).

Trenutni položaj izvora na kraju druge sekunde (2) biće udaljen u smeru kretanja od prvobitnog talasa za 2·(c - v), a od novog za (c - v). U suprotnom smeru udaljenja će biti 2·(c + v) odnosno (c + v) (sl. 4 pod b).

Slične pojave će se odigravati i u svakoj sledećoj sekundi i poremećaj će se proširiti na čitav prostor.

Odavde vidimo da će se izvor, ukoliko se kreće podzvučnom brzinom, uvek nalaziti u sredini koja je prethodno pretrpela poremećaje, tj. kroz koju se proširio talas promene pritiska. Drugim rečima, čestice vazduha ispred izvora su unapred obaveštene o dolasku stranog tela (izvora).

Kretanje zvučnom brzinom (v = c)

U ovom slučaju u toku prve sekunde izvor će prevaliti put (v = c) i naći će se baš na granici dokle se proširio poremećaj u smeru kretanja (sl. 5 pod a).

Po isteku druge sekunde izvor će se naći u tački (2) na udaljenju (2·v = 2·c) od tačke (O). Poremećaj izazvan u tački (O) proširiće se po lopti poluprečnika (2·c), a onaj izazvan u tački (1) na loptu poluprečnika (c). Ove dve lopte dodirivaće se u tački (2) tj. u tački u kojoj se trenutno nalazi izvor (sl. 5 pod b).

U toku vremena posle (n) sekundi izvor će se naći u tački (n).

U ovoj tački će se nagomilavati i dodirivati svi loptasti talasi pritiska stvarajući na taj način jednu graničnu ravan upravnu na pravac kretanja (sl. 5 pod c).

Ova ravan deli prostor u dva dela:

• deo koji je pretrpeo promene pritiska i

• neuznemireni deo u kome čestice vazduha još imaju svoje prvobitno stanje.

Kretanje nadzvučnom brzinom (v > c)

U ovom slučaju izvor prethodi poremećajima i uvek je na njihovom čelu. Poremećaji se ograničavaju na prostor obuhvaćen jednom kupom čiji vrh je sam izvor (sl. 6).

Ugao pri vrhu kupe (2α) određuje se preko sledećeg odnosa:

Ova kupa je zapravo obvojna površina loptastih talasa. Ona je granična površina talasa pritiska koji se često naziva zvučni talas.

Izvan kupe prostor je neuznemiren.

Ugao pri vrhu kupe biće utoliko manji ukoliko je brzina kretanja izvora u odnosu na brzinu zvuka veća.

Po poznatom fizičaru MAHU (MACH) zvučni talas dobio je ime Mahov konus ili Mahov talas, a ugao konusa (α) Mahov ugao ili ugao Mahovog talasa. U slučaju da izvor nije u tački, kao što je to u ovom izlaganju bilo pretpostavljeno, već da je konačnih razmera (krilo aviona, zrno i sl.) tada su ove pojave daleko složenije.

Pri kretanju ovakvih tela mogu da nastanu znatni poremećaji pritiska, koji se rasprostiru kroz vazduh brzinom različitom od brzine zvuka. Usled ovoga nastaju pojave nazvane udarnim talasima. Na graničnoj površini udarnog talasa nastaje skokovita promena pritiska, jedinične mase i temperature.

Pri ovome deo mehaničke energije prelazi u toplotu, koja se više ne može da povrati u mehaničku energiju, tj. imamo nepovratni proces.

5. Mahov broj

Brzina zvuka igra osnovnu ulogu u aerodinamici. Ona deli pojave na dve odvojene grupe: podzvučne i nadzvučne. Osobine strujanja bitno se menjaju kada se brzina strujanja približava brzini zvuka. U praksi se radi toga brzina zvuka uzima kao jedinica za poređenje brzine strujanja odnosno kretanja aviona. Brzine ćemo izražavati Mahovim brojem (M):

koji pretstavlja odnos brzine strujanja odnosno kretanja aviona (v) i brzine zvuka (c) u posmatranoj sredini.

PRIMER:
Odrediti Mahov broj ako avion leti pri zemlji brzinom od 170 m/s.

Kako se brzina zvuka kroz vazduh menja sa promenom visine, to će jedan te isti Mahov broj na raznim visinama pretstavljati različite brzine kretanja aviona.

PRIMER:

Pri letu aviona na nultoj visini izmerena je brzina od v = 720 km/sat. Ovaj isti avion postigao je taj Mahov broj na visini od 6000 m. Kolika je brzina leta aviona na toj visini?

Mahov broj na nultoj visini obzirom da je tu brzina zvuka c = 1224 km/sat biće:

Da bismo odredili brzinu leta na zadatoj visini potrebno je prethodno odrediti brzinu zvuka na toj visini, a još pre toga temperaturu.

Prema tome, brzina leta biće:

Na visini od 6000m Mahov broj od 0,588 postići će se već pri brzini od 667,5 km/sat.