Obim kružne linije

232. Lema 1. Ispupčena izlomljena linija (ABCD, sl. 231) kraća je od svake druge izlomljene linije (AEFGD) koja nju obvija.

Pojmovi: „obvijena izlomljena linija“ i „izlomljena linija koja obvija" (obvojnica) imaju ovaj smisao. Neka dve izlomljene linije (kao na slici 231) imaju zajedničke krajnje tačke AD i takav položaj da se jedna (ABCD) sva nalazi u unutrašnjosti mnogougla ograničenog drugom i duži AD; tada se spoljna izlomljena linija zove obvojnica, a unutrašnja obvijena izlomljena linija.

Treba dokazati da je obvijena izlomljena linija ABCD (ako je ispupčena) kraća od obvojnice AEFGD (bez obzira da li je ova poslednja ispupčena ili izdubljena), tj. da je

AB+BC+CD<AE+EF+FG+GD

Produžimo strane izlomljene linije, kao što je pokazano na slici. Tada, uzimajući u obzir da je duž kraća od svake izlomljene koja spaja krajnje tačke, možemo napisati sledeće nejednakosti:

AB+BH˂AE+EH; BC+CK<BH+HF+FG+GK; CD<CK+KD

Sabiranjem levih i desnih strana ovih nejednakosti, oduzimanjem pomoćnih duži BH i CK i zamenom EH+HF sa EF i GK+KD sa GD, dobijamo traženu nejednakost.

Napomena. Ovaj dokaz ne bi se mogao primeniti ako obvijena linija nije ispupčena (sl. 232). U ovom slučaju može da se desi da će obvijena linija biti duža od obvojnice.

233. Lema 2. Obim ispupčenog mnogougla (ABCD) manji je od obima svakog drugog mnogougla (MNPQRL) koju obvija prvi (sl. 233).

Treba dokazati:

AB+BC+CD+DA<LM+MN+NP+PQ+QR+RL

Produžimo jednu mnogouglovu stranu AD i primenimo na izlomljene linije ABCD i ATMNPQRSD, koje vezuju tačke A i D, lemu prethodnog paragrafa; dobićemo nejednakost:

AB+BC+CD<AT+TM+MN+NP+PQ+QR+RS+SD

S druge strane, pošto je duž ST manja od izlomljene SLT, može da se napiše:

TA+AD+DS<TL+LS

Sabiranjem levih i desnih strana dobijenih nejednakosti, oduzimanjem pomoćnih duži AT i DS i zamenom zbira TL+TM sa LM i LS+RS sa LR, dobićemo traženu nejednakost.

234. Određivanje obima kružne linije. U datu kružnu liniju (sl. 234) upišemo pravilan mnogougao, na primer šestougao, i na kakvu bilo pravu MN (sl. 235) prenesemo duž OP₁, jednaku obimu ovoga šestougla (na našoj slici ovaj je obim, zbog nedostatka prostora, predstavljen u smanjenoj veličini).

Udvojimo sada broj strana upisanog šestougla, tj. mesto šestougla uzmimo pravilan upisani dvanaestougao. Nađimo njegov obim i prenesimo ga na pravu MN od iste tačke O; dobićemo duž OP₂, koja je veća od OP₁ pošto se sada umesto strane šestougla uzima izlomljena linija (sastavljena od dve strane 12-ugla). Udvojimo sada broj strana 12-ugla, tj. uzmimo pravilan 24-ugao (na slici nije pokazano), nađimo njegov obim i prenesimo ga na pravu MN od tačke O; dobićemo duž OP₃, koja je veća od OP₂.

Zamislimo da se ovaj proces udvajanja i prenošenja obima produžuje sve dalje i dalje. Tada će se dobiti beskrajan red obima OP₁, OP₂, OP₃, koji rastu. Ali ovo povećavanje ne može da bude neograničeno, pošto je obim svakog upisanog mnogougla (konveksnog) bez obzira na broj strana uvek manji od obima ma kog opisanog mnogougla. Zbog toga dobijeni red obima pravilnih upisanih mnogouglova ima određenu granicu (§ 229). Ova se granica uzima kao obim kružne linije. Na taj način mi izvodimo sledeću definiciju:

Obim kružne linije je granica kojoj teži promenljivi obim pravilnog mnogougla upisanog u ovu kružnu liniju, kada se broj strana neograničeno udvaja.

Napomena. Može se dokazati (ovaj se dokaz izostavlja) da ova granica ne zavisi od toga sa kakvim pravilnim mnogouglom počinje udvajanje. Čak šta više, ova granica ne zavisi da li će upisani mnogouglovi biti pravilni ili ne, samo je potrebno da se strane smanjuju (a to znači da njihov broj neograničeno raste), bilo udvajanjem bilo na kakav drugi način (dokaz se izostavlja).

Prema tome, za svaku kružnu liniju postoji samo jedna granica kojoj teži obim upisanog konveksnog mnogougla, kada se strane neograničeno smanjuju. Ova granica se uzima kao obim kružne linije.

Isto tako dužina kakvog kružnog luka AB (sl. 236) je granica kojoj teži promenljivi obim izlomljene linije upisane u ovom luku, s kojim ima iste krajnje tačke, kada se broj strana izlomljene linije neograničeno udvaja.

235. Radi uprošćavanja izlaganja mi ćemo bez dokaza primiti sledeće skoro očevidne stavove:

Dužina kružnog luka: 1) veća je od tetive koja spaja krajnje tačke, ali 2) manja je od obima svake izlomljene linije opisane oko luka s kojim ima zajedničke krajnje tačke (sl. 237).

236. Dokaz prednjih stavova.

1. Neka je ACB (sl. 236) — kružni luk i AB - odgovarajuća tetiva; treba dokazati da je dužina luka veća od tetive.

   Pretpostavimo da se u luk upisuju pravilne izlomljene linije na sledeći način: prva se sastoji iz dve tetive AC i CB; druga se dobija putem udvajanja broja strana prve; to će biti linija ADCEB, koja se sastoji iz četiri tetive; treća se dobija udvajanjem broja strana druge: ona će se sastojati od osam tetiva. Zamislimo da se ovaj proces udvajanja produžuje neograničeno. Tada će se obim izlomljene linije povećavati posle svakog udvajanja; na primer:

   AD+DC+CE+EB>AC+ CB

   pošto je  

   AD+DC>AC   i   CE+EB>SB

   Stoga će granica kojoj teži ovaj obim biti veća od obima prve izlomljene, tj. veća od zbira AC+CB i prema tome biće veća od tetive AB. Ali ova se granica smatra kao dužina luka ACB; znači, ona je veća od tetive AB.

    

2. Neka je oko luka opisana kakva izlomljena linija (pravilna ili nepravilna) (sl. 237). Ako se krajnje tačke izlomljene poklapaju s krajnjim tačkama luka, to se luk može smatrati kao zbir od nekoliko lukova, od kojih je svaki obvijen izlomljenom linijom sastavljenom od dve duži. Jedan od takvih delova neka bude luk AB (sl. 238). Dokažimo da je dužina ovog luka manja od zbira AC+CB, koji ćemo ukratko obeležiti slovom S. Radi dokaza uzmimo pomoćnu izlomljenu AmnB, koja se dobija presecanjem ugla C kakvom pravom mn koja ne seče luk AB (što je uvek mogućno ako je izlomljena linija opisana tj. sastavljena od tangenata). Obeležimo dužinu izlomljene linije AmnB sa S₁. Pošto je mn<mC+Cn, to je S₁˂ S.

   Sada ćemo dokazati da granica kojoj teži promenljivi obim pravilne izlomljene linije upisane u luku AB, kada se broj strana neograničeno udvaja, ne može da bude veća od S₁. Označimo tu granicu sa L i pretpostavimo da L>S₁. Pošto se promenljivi obim neograničeno približuje svojoj granici, onda razlika između L i ovog obima može da postane manja od razlike L-S₁; tada će obim upisane izlomljene linije postati veći od S₁. A Ovo je nemoguće, pošto je svaka ispupčena izlomljena linija upisana u luku AB obvijena u odnosu na izlomljenu AmnB, koja je obvojnica, stoga je ona manja od S₁. Znači ne može da se dopusti da je L>S₁. Prema tome L ili je manje od S₁, ili jednako sa Ѕ₁. Kako je S₁<S, onda je u obadva slučaja L<S, što je trebalo dokazati.

237. Izračunavanje obima kružne linije. U ovu svrhu se može upotrebiti formula udvajanja koja je izvedena ranije (§ 224), tj. formula:

a_2n=2·R²-2·R·√(R²-a_n²/4)

Ako se uzme da je poluprečnik R jednak 1, onda će formula biti jednostavnija:

a_2n=2-2√(1-a_n²/4)

Ako se sa a_n obeleži strana pravilnog upisanog mnogougla sa n strana, imaćemo da je a₆=R=1.

Primenom formule udvajanja nalazimo:

a₁₂²=2-2√(1-1/4)=2-√3

a₂₄²=2-2√(1-a₁₂²/4)  ;   a₄₈²=2-2√(1-a₂₄²/4)   itd.

Pretpostavimo da smo udvajanje prekinuli na 96-uglu. Da bi se dobio njegov obim, potrebno je da se dužina njegove strane pomnoži sa 96. Ovaj obim može da se uzme kao približna vrednost obima kružne linije. Obeleživši ga sa p96 i izvršivši računske radnje, dobićemo:

p₉₆=6,2820638...

Za poluprečnik R dobijamo:

p₉₆=R·6,2820638..., ili p₉₆=2R·3,1410319...

Prema tome približna vrednost obima kružne linije C biće: 

C=2R·3,1410319...

Ako bi se proces udvajanja prekinuo na 192-uglu, dobili bismo tačniju vrednost i to:

C=2R·3,14145247....

Produžujući proces udvajanja, mogu da se dobiju tačnije vrednosti obima kružne linije.

238. Odnos obima kružne linije prema prečniku. Analizirajući proces izračunavanja kružne linije možemo primetiti da broj kojim treba pomnožiti prečnik da bi se dobio obim ne zavisi od veličine prečnika, tako da ako nađemo da je obim jedne kružne linije jednak njenom prečniku pomnoženom nekim brojem, onda je i obim svake druge kružne linije jednak njenom prečniku pomnoženom istim brojem.

Zaista, uzmimo dve kružne linije čiji su poluprečnici R i r a obim C i c. U svaku od njih upišimo pravilan mnogougao sa istim brojem strana i počnimo da udvajamo broj strana svakoga od njih. 

Obeležimo sa P_n i p_n obime pravilnih mnogouglova upisanih u naše kružne linije.

Na osnovu teorema § 218 možemo napisati:

P_n/R=p_n/r    ili    P_n/2R=p_n/2r

Promenljivi obim P_n ima za granicu obim C prve kružne linije, a promenljivi obim p_n - obim c druge kružne linije.

Stoga iz jednačine P_n/2R=p_n/2r sleduje C/2R=c/2r (§ 228 i§ 231).

Na taj način može da se kaže da je odnos obima kružne linije prema prečniku stalan broj za sve kružne linije.

Ovaj stalni broj obeležava se grčkim pismenom π ¹).

¹) Ovo obeležavanje po svoj prilici uvedeno je u XVII veku. Slovo π (pi) je početno slovo grčke reči periferela (kružna linija).

Prema tome za obim kružne linije može da se napiše obrazac:

C=2·R·π, ili C=2πR

Dokazano je da je broj π iracionalan broj, i, prema tome, ne može da se izrazi tačno nikakvim racionalnim brojem. Ali njegove približne vrednosti mogu da se izračunaju na više načina s kojom hoćemo tačnošću.

Ako se obim upisanog 96-ugla uzme za približnu vrednost obima kružne linije, dobija se za π manja približna vrednost 3,14 sa tačnošću do 0,01. Ova vrednost je skoro uvek dovoljna za praktične svrhe. U slučaju naročite tačnosti možemo da se služimo većom približnom vrednošću π=3,1416.

Naučnici, služeći se usavršenim metodama, izračunali su π s tačnošću koja daleko prelazi praktične potrebe. (Tako engleski matematičar Šenks 1873 g. našao je 707 decimala broja π²).

²) Da se upamte cifre koje izražavaju broj π, možemo da se poslužimo sledećim francuskim stihovima:

Que j'aime à faire apprendre
Un nombre utile aux hommes!

ili sledećim ruskim (sastavljenim od poč. prof. Šenroka):

Кто и шутя и скоро пожелает (ъ)
Пи узнать число уж (ъ) знает (ъ)!

Ako se ispišu brojevi slova koja se sadrže u svakoj reči ovih stihova (napisanih po starom pravopisu), onda će se dobiti veća približna vrednost 3,1415926536, sa tačnošću do 1/2·10-9

Korisno je napomenuti da je još u III veku pre naše ere čuveni sirakuški geometar Arhimed našao za π vrlo prost broj 22/7=3·1/7. Ova vrednost je nešto veća od π a razlikuje se od njega manje od 0,002.

Pri rešavanju geometrijskih zadataka često se upotrebljava recipročna vrednost broja π, tj. 1/π.

Od koristi je da se zapamti nekoliko cifara ovoga broja: 1/π=0,3183098....

239. Dužina kružnog luka od n stepeni. Obim kružne linije je 2πR, znači, dužina luka od 1º biće 2πR/360=πR/180; prema tome dužina s luka od nº biće ѕ=πRn/180.

Ako je luk izražen u minutima (n') ili sekundima (n"), onda se dužina određuje odgovarajućim obrascima: s=πRn/180·60 ili  s=πRn/180·60·60, gde je n broj minuta ili sekunada.

240. Zadatak. Izračunati s tačnošću do 1mm poluprečnik kružne linije čiji je luk od 81° 21' 36" jednak 0,452 m.

Pretvaranjem 81° 21' 36" u sekunde dobijamo broj 292896.

Iz jednačine 0,452=(π·R·292896)/(180·60·60)  nalazimo:

R=(0,452·180·60·60)/(292896·π)=1/π=0,318 (m)

241. Zadatak. Odrediti broj stepeni kružnog luka čija je dužina jednaka poluprečniku.

Zamenom u obrascu ѕ sa R dobićemo jednačinu:

R=πRn/180, ili 1=πn/180

Odatle

n°=180°/π=180°·1/π=180·0,3183098=57°,295764=57°17'44",8

Luk čija je dužina jednaka poluprečniku zove se radijan.