Granica reda brojeva

Na primer, prirodni red brojeva:

1, 2, 3, 4, 5.....,

aritmetički i geometrijski redovi produženi neograničeno: 

a, a+d, a+2d, a+3d...,

a, aq, aq², aq³...,

čine beskonačne redove brojeva ili beskonačne brojne redove.

Za svaki takav red može da se odredi zakon po kome se ređaju brojevi. Tako, u aritmetičkom redu svaki član se razlikuje od prethodnog za isti broj, u geometrijskom redu svaki član jednak je proizvodu prethodnog i stalnog broja (količnik reda).

Mnogi redovi se prave na osnovu složenijeg zakona. Na primer, izračunavajući manju približnu vrednost √2, prvo sa tačnošću do 1/10, zatim do 1/100, zatim do 1/1000 i produžujući ovo izračunavanje do beskonačnosti, dobijamo beskonačni brojni red: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142..., koji predstavlja manju približnu vrednost √2, ali tačnost se stalno povećava.

Za ovaj red ne može da se utvrdi prosto pravilo po kome bi se mogli dobiti novi članovi iz prethodnih, ali ipak se može odrediti ma koji član reda. Tako, da bi se odredio četvrti član, treba izračunati √2 sa tačnošću do 0,0001, za dobijanje 5 člana treba izračunati √2 s tačnošću do 0,00001 itd.

Pretpostavimo da se članovi jednog beskrajnog reda a₁, a₂, a₃,... a_n, ..., kad se njihov indeks povećava, neograničeno približuju nekom broju A. Ovo znači sledeće: postoji neki broj A takve osobine da kad se uzme neki mali pozitivni broj q, ma koliko da je mali, u našem redu može da se nađe član, počev od koga svi članovi po apsolutnoj vrednosti se razlikuju od A za broj koji je manji od q. Mi ćemo ovu osobinu ukratko ovako izraziti: apsolutna vrednost razlike a_n-A neograničeno opada kad n raste.

U ovom slučaju broj A zove se granica datog beskonačnog brojnog reda. Navešćemo primer takvog reda. Sastavimo red decimalnih brojeva:

0,9; 0,99; 0,999; .....

Ovde se svaki član dobija iz prethodnoga dopisivanjem novog decimalnog znaka 9.

Očevidno je da se članovi ovoga reda neograničeno približuju jedinici.

Naime, prvi član se razlikuje od jedinice za 1/10, drugi za 1/100, treći za 1/1000, i ako se red produži, može da se nađe takav član da će se svi naredni članovi razlikovati od jedinice za kolikogod hoćemo malu količinu, unapred određenu. Prema tome može da se kaže da naš beskrajni brojni red ima za granicu jedinicu. Kao drugi primer brojnog reda koji ima granicu poslužiće nam red, sastavljen od manjih približnih vrednosti dužine nesamerljive duži (§ 150), izračunate prvo s tačnošću do 1/10, zatim do 1/100, zatim do 1/1000 itd.

Granica ovog reda je beskrajan desetni razlomak, koji predstavlja tačnu meru dužine duži. Zaista, vrednost beskrajnog desetnog razlomka nalazi se između manje i veće približne vrednosti.

Kao što je bilo rečeno više, ova razlika neograničeno opada kada se povećava stepen tačnosti približnih vrednosti. Prema tome mora da opada neograničeno i razlika između samog beskrajnog desetnog razlomka i njegovih približnih vrednosti, kada se povećava stepen tačnosti ovih vrednosti. Znači, beskrajan desetni razlomak je granica reda svih njegovih manjih (ili većih) približnih vrednosti.

Lako je uočiti da ne mora svaki beskrajan red imati granicu; na primer niz prirodnih brojeva. 1, 2, 3, 4, 5... očevidno nema granice, pošto njegovi članovi neograničeno rastu i ne približuju se nikakvom broju.

228. Teorema. Svaki beskrajan brojni red može da ima samo jednu granicu.

Da je ova teorema tačna možemo da se uverimo na indirektan način. Pretpostavimo da dati red

a₁, a₂, a₃, ..., a_n,...,

ima dve različite granice A i B. Tada će apsolutna vrednost razlike a_n-A neograničeno opadati kada n raste. Isto tako bi neograničeno opadala i apsolutna vrednost razlike a_n-B.

U ovom slučaju: apsolutna vrednost razlike (a_n-A)-(a_n-B) mora takođe da neograničeno opada ili da bude jednaka nuli. Ali je ova poslednja razlika jednaka razlici brojeva B-A, koja ima određenu vrednost različitu od nule. Ova vrednost ne zavisi od indeksa n i ne menja se kad n raste. Na taj način naša pretpostavka da postoje dve različite granice dovodi nas do protivurečnosti.

229. Granica rastućeg beskrajnog brojnog reda. Posmatrajmo takav red a₁, a₂, a₃, ..., a_n,..., u kome je svaki član veći od prethodnoga, tj. a_n+1>a_n, ali u kome su svi članovi manji od nekog određenog broja M, tj. za ma koji indeks a_n<M.

U ovom slučaju red ima određenu granicu (Vajerštrasova teorema).

230. Dokaz. Uzmemo beskrajni red a₁, a₂, a₃,..., a_n,... (1) u kome je svaki član veći ili jednak prethodnome (a_n+1≥a_n), pri čemu između članova reda nema broja većeg od datog broja M, na primer broja 10. Uzmemo broj 9 i gledamo da li ima u našem redu (1) brojeva većih od 9. Pretpostavimo da takvih brojeva nema. Uzmemo tada broj 8 i gledamo da li ima u redu (1) brojeva većih od 8. Pretpostavimo da takvih brojeva ima. Tada zabeležimo broj 8 i delimo interval od 8 do 9 na 10 delova i ispitujemo redom brojeve: 8,1; 8,2; 8,3..., tj. gledamo da li u redu, (1) ima brojeva većih od 8,1. Ako ima, onda ispitujemo broj 8,2 itd.. Pretpostavimo da u redu (1) ima brojeva većih od 8,6, a nema brojeva većih od 8,7. Tada ćemo zabeležiti broj 8,6, a interval od 8,6 do 8,7 podeliti na 10 delova i ispitujemo na isti način redom brojeve 8,61; 8,62, .... Pretpostavimo da u redu (1) ima brojeva većih od 8,64, ali nema brojeva većih od 8,65. Tada beležimo broj 8,64 i na isti način postupimo sa intervalom od 8,64 do 8,65. Ako se ovaj proces produži do beskonačnosti, doći ćemo do beskrajnog desetnog razlomka: 8,64..., tj. do nekog stvarnog broja. Obeležimo ga sa α i uzmimo njegove približne vrednosti (manju i veću), izračunate sa n decimala. Prvu obeležimo α_n a drugu sa α_n'. Pri ovome, kao što je poznato (§ 150),

α_n˂α˂α_n'    i    α_n'-α_n=1/10ⁿ

Iz načina formiranja stvarnog broja α sleduje da između članova reda (1) nema brojeva većih od α_n', ali ima brojeva većih od α_n. Neka α_k bude jedan takav broj:

α_n˂α_k˂α_n'

Pošto članovi reda (1) rastu, ali ostaju manji od α_n', to zaključujemo da se svi naredni članovi reda α_k+1, α_k+2 nalaze između α_n i α_n+1, tj. ako je m>k, onda α_n<α_m<α_n'.

Pošto se stvarni broj α takođe nalazi između α_n i α_n', to je apsolutna vrednost razlike α_m-α manja od razlike brojeva

α_n' i α_n. Ali α_n'-α_n=1/10ⁿ, stoga |α_m-α|<1/10ⁿ         (2)

Na taj način za ma koju vrednost n može da se odredi broj k tako da za m≤k postoji nejednakost (2).

Kada n neograničeno raste, razlomak 1/10ⁿ neograničeno opada; stoga iz nejednakosti (2) sleduje da je stvarni broj α granica reda (1). Prema tome, brojni red, (1) ima određenu granicu.

231. Granica promenljive količine. Ako je dat red, onda se njegov n-ti član može smatrati kao promenljiva količina čija vrednost zavisi od n. Ovim izrazom „promenljiva količina" često se služe radi kratkoće. Tako, umesto izraza ,,dat je beskrajni brojni red a₁, a₂, a₃,..., a_n, ...“, kaže se „data je promenljiva količina a_n koja dobija postupne vrednosti a₁, a₂, a₃,...“ Ako se primeni ovaj način izražavanja, onda se može govoriti o granici promenljive količine umesto granice reda.

Prema ovome stav koji je dokazan u § 228 može da se iskaže ovim rečima: „Svaka promenljiva količina može da ima samo jednu granicu". Ova teorema često se formuliše i ovako: „Ako su date dve promenljive količine a_n i b_n i ako su sve vrednosti prve jednake odgovarajućim vrednostima druge: a₁=b₁, a₂=b₂, a_n=b_n,..., onda su njihove granice, ako postoje, jednake, ili ukratko: „Ako su dve promenljive količine jednake, onda su jednake i njihove granice“.

Teorema (§ 229) o granici rastućeg brojnog reda može da se formuliše ovako: ako promenljiva količina a_n raste kad raste i indeks n, ali ostaje manja od nekog stalnog broja, onda ova promenljiva količina ima granicu.