Površine mnogouglova

243. Osnovne pretpostavke o površinama. Veličina dela ravni u unutrašnjosti mnogougla ili kakve druge ravne zatvorene slike zove se površina te slike.

Postavimo sebi za zadatak da se za ovu veličinu nađe brojni izraz, tj. broj kojim se meri površina.

Pri ovome se zahteva da odnosi između površina slika i njihovih mernih brojeva zadovoljavaju sledeće uslove:

1. merni brojevi površina dve jednake slike moraju da budu jednaki;

2. ako je data slika podeljena na više delova (M, N, P, sl. 239) od kojih svaki čini zatvorenu sliku, onda merni broj površine cele slike mora da bude jednak zbiru mernih brojeva površina pojedinih njenih delova.

Napomena. Odnosno poslednjeg uslova potrebno je da se učini jedna važna napomena. Površine se mere pozitivnim brojevima. Ali zbir dva pozitivna broja uvek je veći od svakog sabirka. Stoga da bi se mogao primiti i drugi uslov, potrebno je da i površine slika imaju odgovarajuću osobinu. Razjasnićemo to. Pretpostavićemo da je data slika podeljena na nekoliko delova i da se ovi delovi kombinuju u nove slike (kao što su na slici 240 premešteni delovi A i B). Postavlja se pitanje: da li bi se mogla putem ovih premeštanja dobiti takva slika koja bi sva stala unutra prvobitne slike? Ako bi ovo bilo mogućno, onda bi se dobile dve slike, jedna u unutrašnjosti druge, pri čemu bi njihovi merni brojevi na osnovu drugog uslova morali da budu jednaki.

Na taj način merni broj površine cele slike bio bi jednak mernom broju površine jednog dela slike, tj. zbir bi bio jednak jednom od svojih sabiraka, što je nemogućno za pozitivne brojeve. Prema tome u ovom sluh čaju drugi uslov ne bi mogao da se primi. Prvi je skrenuo pažnju na ovo pitanje talijanski matematičar Depolt (1881). Nemogućnost gore navedenog premeštanja delova slika, uzimala se najpre kao neki postulat, ali docnije ovu su nemogućnost strogo dokazali Šur, Kiling, Šatunovski i Gilbert. Ova osobina površina slika i daje mogućnost da se primi drugi uslov.

Slike koje imaju jednake površine zovu se jednake. Naravno, podudarne slike uvek su jednake, ali jednake slike ne moraju da budu podudarne (kao one na sl. 240).

244. Pojam o merenju površina. Za merenje površine date slike pre svega se bira jedinica površine. Za takvu jedinicu se uzima površina kvadrata čija je ivica dužinska jedinica, na primer jedan metar, jedan santimetar i t. sl. Za slike najprostijeg oblika merni broj može da se dobije na ovaj način. Polažemo površinsku jedinicu na površinu koja se meri onoliko puta, koliko je je to mogućno. Ovo može da se učini za male površine, koje se mogu nacrtati na hartiji pomoću prozirne milimetarske hartije, podeljene paralelnim pravama na male kvadrate koji se uzimaju kao površinska jedinica. Pretpostavimo da je na sliku čiju površinu treba izmeriti metnuta takva mreža kvadrata. Tada će, ako kontura date slike predstavlja izlomljenu liniju (sl. 241) čije se strane poklapaju s delovima pravih linija koje čine mrežu kvadrata, broj kvadrata u unutrašnjosti slike dati tačnu meru površine.

U praksi se merenje površine ne vrši stavljanjem na sliku površinske jedinice ili njenih delova, već indirektnim putem, pomoću merenja izvesnih linija date slike. Kako se to radi, videćemo iz daljeg izlaganja.

245. Osnovica i visina. Jedna od trouglovih ili paralelogramovih strana zove se osnovica tih slika, a normala spuštena na tu stranu iz suprotnog temena trougla ili iz ma koje tačke suprotne strane u paralelogramu zove se visina.

U pravougaoniku za visinu se uzima strana koja je normalna na osnovici.

U trapezu osnovice su paralelne strane, a visina je zajednička normala između njih.

Osnovica i visina u pravougaoniku zovu se njegove dimenzije.

246. Teorema. Površina pravougaonika jednaka je proizvodu iz njegove osnovice i visine.

Ova skraćena rečenica ima se ovako razumeti: merni broj površine pravougaonika u kvadratnim jedinicama jednak je proizvodu mernih brojeva osnovice i visine u odgovarajućim dužinskim jedinicama.

Pri dokazu mogu da se dese tri slučaja:

1. Dužine osnovice i visine (izmerenih istom jedinicom) izražene su celim brojevima.

   Neka je osnovica datog pravougaonika (sl. 242) izražena celim brojem b dužinskih jedinica, a visina celim brojem h istih jedinica. Podelimo osnovicu na b a visinu na һ jednakih delova i kroz deone tačke povucimo prave paralelne osnovici i visini. Od uzajamnog preseka ovih pravih dobijaju se neki četvorouglovi. Uzmimo jedan od njih, na primer četvorougao K (osenčen na slici). Pošto su njegove strane po konstrukciji paralelne sa odgovarajućim stranama pravougaonika, onda su mu svi uglovi pravi; znači, četvorougao K je pravougaonik. S druge strane, svaka njegova strana je jednaka dužinskoj jedinici. Znači pravougaonik K je kvadrat koji predstavlja kvadratnu jedinicu odgovarajuću uzetoj dužinskoj jedinici (ako su, na primer, osnovica i visina izmerene santimetrom, onda je kvadrat K kvadratni santimetar). Pošto sve što je rečeno za četvorougao K važi i za ostale, to će se povlačenjem paralelnih pravih površina pravougaonika podeliti na kvadratne jedinice. Naći ćemo njihov broj. Očigledno je da će prave paralelne osnovici podeliti pravougaonik na onoliko jednakih horizontalnih pantljika, koliko ima jedinica u visini, tj. na h jednakih pantljika. S druge strane, prave paralelne visini podeliće svaku horizontalnu pantljiku na onoliko kvadratnih jedinica, koliko ima dužinskih jedinica u osnovici, tj na b kvadratnih jedinica. Prema tome svega kvadratnih jedinica biće b·h. Na taj način: površina pravougaonika=b·h, tj. jednaka je proizvodu osnovice i visine.

2. Dužine osnovice i visine, koje su izmerene istom jedinicom, izražene su razlomcima.

   Neka je, na primer, u datom pravougaoniku:

   osnovica=3·1/2=7/2 dužinskih, jedinica,

   visina=4·3/5=23/5 istih jedinica.

   Dovođenjem na zajednički imenilac, dobijamo:

   osnovica=35/10;  visina=46/10

   Uzmimo 1/10 deo dužinske jedinice za novu jedinicu. Tada će osnovica imati 35 ovih jedinica a visina 46. Znači da će na osnovu prvog slučaja površina pravougaonika imati 35·46 kv. jedinica, koje odgovaraju novoj dužinskoj jedinici. Ali ova kvadratna jedinica je 1/100 deo kvadratne jedinice koja odgovara ranijoj dužinskoj jedinici; prema tome, površina pravougaonika izražena u ranijim kvadratnim jedinicama biće:

   35·46/100=35/10·46/10=3·1/2·4·3/5 (kv. jedinica).

3. Osnovica i visina (ili samo jedna od njih) nesamerljive su sa dužinskom jedinicom i, prema tome, njihove su dužine izražene iracionalnim brojevima.

   U ovom slučaju možemo da se zadovoljimo približnim rezultatom merenja površine sa tačnošću koja se želi. Ali može i u ovom slučaju da se odredi tačan merni broj za površinu.

   Neka je dužina osnovice AB pravougaonika ABCD (sl. 243) izražena iracionalnim brojem α, a dužina visine AD - iracionalnim brojem β. Svaki od ova dva broja može da bude predstavljen kao beskrajan neperiodičan desetni razlomak (§ 100). Uzmimo približne vrednosti ovih brojeva sa n decimala, manje i veće. Manje približne vrednosti obeležimo sa α_n (za prvi broj) i sa β_n (za drugi broj), a veće sa α_n' i β_n'. Na osnovicu AB od tačke A prenesimo duž AB₁ čija je brojna vrednost α_n a zatim duž AB₂ čija je brojna vrednost α_n'. Očevidno je da je AB₁<AB i AB₂>AB. Prenesimo na visinu AD duži AD₁ i AD₂ čije su brojne vrednosti β_n i β_n'. Jasno je da je AD<AD₁ i AD₂>AD.

   Konstruišimo dva pomoćna pravougaonika AB₁C₁D₁ i AB₂C₂D₂. Osnovica i visina svakog od njih izražene su racionalnim brojevima: AB₁=α_n, AB₂=α_n', AD₁=β_n, i AD₂=β_n'.

   Stoga, a na osnovu rezultata u drugom slučaju,

   površina AB₁C₁D₁=α_n·β_n,

   površina AB₂C₂D₂=α_n'·β_n'

   Pustimo sada n da neograničeno raste.

   Tada će α_n i α_n' imati kao granicu iracionalni broj α, a brojevi β_n i β_n' iracionalni broj β. Proizvodi pak α_n·β_n i α_n'·β_n' kao što je poznato iz algebre, imaće zajedničku granicu koja se uzima kao proizvod brojeva α i β (§ 154).

   Ova zajednička granica proizvoda α_n·β_n i α_n'·β_n', tj. proizvod α·β, smatra se kao merni broj površine ABCD. Možemo lako da se uverimo da ova mera zadovoljava oba uslova koje treba da zadovolji merni broj površine (§ 243), i to; 1) merni brojevi površina jednakih pravougaonika jednaki su; 2) ako je pravougaonik podeljen na nekoliko pravougaonika, onda je merni broj njegove površine jednak zbiru mernih brojeva površina pojedinih njegovih delova. Prema tome, i u ovom slučaju površina pravougaonika je jednaka proizvodu osnovice i visine.

247. Teorema. Površina paralelograma (ABCD, sl. 244 i 245) jednaka je proizvodu osnovice i visine.

Nad osnovicom AD (na obema slikama) konstruišimo pravougaonik AEFD čija je strana EF produženje strane BC.

Pri ovome mogu da se dese dva slučaja:
1) Strana BC leži izvan strane EF i 2) strana BC delimično se poklapa sa EF (prvi slučaj predstavljen je na slici 244, drugi - na slici 245). Dokažimo da je u obadva slučaja površina ABCD=površini AEFD.

Ako paralelogram dopunimo trouglom AEB, a pravougaonik trouglom DFC, dobićemo trapez AECD. Pošto su trouglovi AEB i DFC podudarni (imaju po dve strane i zahvaćene uglove jednake), to će paralelogram i pravougaonik biti jednaki. Kako je površina AEFD=bh, biće i površina ABCD=bh, pri čemu se b može smatrati kao osnovica paralelogramova a h njegova visina.

248. Teorema. Površina trougla (ABC, sl. 246) jednaka je poluproizvodu osnovice i visine.

Povucimo BE∥AC i AE∥BC. Tada će se dobiti paralelogram AEBC čija je površina bh. Kako je površina △ABC polovina površine AEBC, to površina △ABC=1/2·bh

Napomena. Lako možemo da se uverimo da se svaki trougao razlaže na delove čijim premeštanjem može da se dobije pravougaonik koji ima sa trouglom jednaku osnovicu i dvaput manju visinu (sl. 247).

249. Posledice. 

1. Trouglovi sa jednakim osnovicama i visinama jednaki su.

   Ako se, na primer, vrh B trougla ABC (sl. 248) premešta po pravoj paralelnoj osnovici AC, a osnovica ostaje ista, površina trougla neće se menjati.

2. Površina pravouglog trougla jednaka je poluproizvodu kateta, pošto se jedna kateta može uzeti kao osnovica a druga kao visina.

3. Površina romba jednaka je poluproizvodu njegovih dijagonala. Zaista, ako je ABCD (sl. 249) romb, onda su njegove dijagonale uzajamno normalne. 

   Stoga

   površina △ABC=1/2·AC·OB

   površina △ACD=1/2·AC·OD

   površina ABCD=1/2·AC·(OB+OD)=1/2·AC·BD

4. Površine dva trougla se odnose kao proizvodi njihovih osnovica i visina (činilac 1/2 se skraćuje).

250. Teorema. Površina trapeza jednaka je poluproizvodu zbira osnovica i visine.

Povlačenjem u trapezu (sl. 250) ABCD dijagonale AC njegova površina može da se dobije kao zbir površina dva trougla CAD i ABC. Stoga:

površina trapeza ABCD=1/2·AD·h+1/2·BC·h=1/2·(AD+BC)·h

251. Posledica. Ako je MN (sl. 251) srednja trapezova linija, to, kao što je poznato (§ 99), MN=1/2·(AD+BC).

Prema tome površina trapeza ABCD=MN·h, tj. površina trapeza jednaka je proizvodu srednje linije i visine. To se neposredno vidi i iz slike 251.

252. Teorema. Površina svakog opisanog mnogougla jednaka je proizvodu obima i polovine poluprečnika.

Spajanjem centra O (sl. 252) sa svima temenima opisanog mnogougla dobijamo trouglove kod kojih se strane mnogouglove mogu uzeti kao osnovice a poluprečnik kruga za visine.

Ako poluprečnik kruga obeležimo sa R, imaćemo: 

površina△AOB=AB·1/2·R; površina △BOC=BC·1/2·R itd.

Prema tome, 

površina ABCDE=(AB+BC+CD+DE+EA)·1/2·R=P·1/2·R

gde je P obim mnogougla.

Posledica. Površina pravilnog mnogougla jednaka je proizvodu obima i polovine apoteme (poluprečnika upisanog kruga), pošto svaki pravilan mnogougao može da se smatra kao opisani oko kruga čiji je poluprečnik apotema.

253. Površina nepravilnog mnogougla. Radi izračunavanja površine ma kakvog nepravilnog mnogougla možemo ga podeliti na trouglove (na primer povlačenjem dijagonala), izračunati površinu svakog trougla i sabrati rezultate.

254 Zadatak. Konstruisati trougao koji je jednak datom mnogouglu ABCDE (sl. 253).

Od datog mnogougla povlačenjem dijagonale AC odsečemo △ABC. Kroz teme B ovog trougla koje leži naspram uzete dijagonale povučemo pravu MN∥AC. Zatim produžimo jednu od strana EA ili DC, naleglih dobijenom trouglu, do preseka s pravom MN (na slici je produžena strana EA).

Presečnu tačku F spojimo s tačkom C. Trouglovi CBA i CFA su jednaki pošto imaju zajedničku osnovicu AC, a temena im B i F leže na pravoj paralelnoj osnovici. Ako od datog mnogougla odvojimo △CBA i zamenimo ga jednakim mu trouglom CFA, njegova se površina neće promeniti; prema tome dati mnogougao jednak je mnogouglu FCDE, čiji je broj uglova za jedan manji. Na isti način broj uglova dobijenog mnogougla može da se smanji još za jedan i ovo se smanjenje produžuje sve dotle, dok se ne dobije trougao (na slici FCG).

255. Zadatak. Konstruisati kvadrat koji je jednak datom mnogouglu.

Prvo treba mnogougao pretvoriti u trougao, a zatim trougao u kvadrat. Neka su b i h osnovica i visina trougla, a x strana traženog kvadrata. Tada će površina trougla biti 1/2bh,  a kvadrata x²; prema tome,

1/2bh=x², odakle 1/2b:x=x:h,

t.j.x je srednja proporcionala između 1/2b i h. Znači strana kvadrata se nalazi konstrukcijom srednje proporcionale (§ 190).

Napomena: Pretvaranje datog mnogougla u trougao nije uvek potrebno. Na primer, ako se radi o pretvaranju u kvadrat trapeza, to je dovoljno naći srednju proporcionalu trapezove visine i njegove srednje linije i nad dobijenom duži konstruisati kvadrat.

256. Zadatak. Izračunati površinu trougla kad su date njegove strane a, b i c.

Neka je h_a visina spuštena na stranu a u trouglu ABC (sl. 254). Tada:

S=1/2ah_a

Da bi se našla visina һ_a, uzmimo jednačinu (§ 194):

b²=a²+c²-2ac'

i odredimo iz nje odsečak c':

c'=(a²+c²-b²)/2a

Iz △ABD imamo:

h_a=√(c²-((a²+c²-b²)/2a)²)=1/2a·√(4a²c²-(a²+c²-b²)²)

Potkorenu količinu možemo napisati ovako:

(2ac)²-(a²+c²-b²)²=(2ac+a²+c²-b²)·(2ac-a²-c²+b²)=[(a²+c²+2ac)-b²]·[b²-(a²+c²-2ac)]=[(a+c)²-b²]·[b²-(a-c)²]=(a+c+b)·(a+c-b)·(b+a-c)·(b-a+c)

Stoga,

S=1/2ah_a=1/4√((a+c+b)·(a+b-c)·(a+c-b)·(b+c-a)) ¹)

¹) Pošto je u trouglu zbir dveju strana veći od treće, onda su sve razlike a+b-c, a+c-b i b+c-a pozitivne.

Ako stavimo da je

a+b+c=2p

onda

a+c-b=(a+b+c)-2b=2p·2b=2(p-b)

Analogno ovome

b+a-c=2(p- c)

b+c-a=2(p-a)

Tada 

S=1/4·√(2p·2(p-a)·2(p-b)·2(p-c))

t.j.

S=√(p·(p-a)·(p-b)·(p - c))

Ovaj rezultat poznat je kao Heronov obrazac (po imenu matematičara Herona iz Aleksandrije, koji je živeo oko III-II veka pre naše ere).

Specijalni slučaj. Površina ravnostranog trougla sa stranom a izražena je ovim obrascem:

S=√(3a/2·a/2·a/2·a/2)=a²√3/4