Površina kruga i njegovih delova

Neka je n broj strana pravilnog upisanog mnogougla a p - njegov obim. Tada će se dužina jedne strane izraziti razlomkom p/n. Kada se broj strana neograničeno udvaja, imenilac ovog razlomka neograničeno raste, a brojilac, tj. p, i ako raste, ali ne neograničeno (pošto obim pravilnog konveksnog upisanog mnogougla uvek ostaje manji od obima ma koga opisanog mnogougla).

Ako imenilac kakvog razlomka neograničeno raste, a brojilac ostaje manji od nekog stalnog broja, onda se razlomak neograničeno smanjuje. Znači, strana pravilnog upisanog mnogougla pri neograničenom udvajanju broja strana postaje kolikogod hoćemo mala.

263. Posledica. Neka (sl. 260) AB je strana pravilnog upisanog mnogougla, OA- poluprečnik i OC - apotema. Iz △OAC imamo (§ 50):

OA-OC<AC

tj.

OA-OC<1/2AB

Kada broj strana pravilnog upisanog mnogougla neograničeno raste, njegova strana, kao što smo dokazali, može da postane kolikogod hoćemo mala; znači to isto važi i za razliku OA-OC. Na taj način, kada broj strana pravilnog upisanog mnogougla neograničeno raste, razlika poluprečnika i apoteme postaje kolikogod hoćemo mala. Drugim rečima: kada broj strana neograničeno raste, poluprečnik je granica kojoj teži apotema.

264. Površina kruga. Upišimo u krug čiji je poluprečnik R kakav bilo pravilan mnogougao. Neka

površina ovog mnogougla je q,

obim ovog mnogougla je p,

apotema ovog mnogougla je a,

Videli smo (§ 252, posledica) da između ovih količina postoji zavisnost: q=1/2·p·a

Zamislimo sada da se broj strana ovog mnogougla neograničeno udvaja. Tada će se obim p i apotema a (prema tome i površina q) povećavati, pri čemu obim ima za granicu obim kruga C, a apotema ima za granicu R. Iz ovoga sleduje da će površina mnogougla, kada se broj strana neograničeno udvaja, imati za granicu 1/2·C·R. Ova se granica uzima kao brojna vrednost površine kruga. Prema tome, ako se površina kruga obeleži sa K, možemo napisati:

K=1/2·C·R, tj.

površina kruga jednaka je polovini proizvoda iz obima kružne linije i poluprečnika.

Pošto je

C=2πR,

K=1/2·2πR=πR²

tj. površina kruga jednaka je proizvodu iz kvadrata poluprečnika i odnosa obima kruga prema prečniku.

265. Posledica. Površine krugova se odnose kao kvadrati poluprečnika ili prečnika.

Ako su K i K₁ površine dva kruga, R i R₁ njihovi poluprečnici, onda

K=πR²

K=πR₁²

odakle

K/K₁=πR²/πR₁²=R²/R₁²=4R²/4R₁²=(2R)²/(2R₁)²

266. Zadatak 1. Izračunati površinu kruga čiji je obim 2m.

Prethodno nalazimo R iz jednačine:

2πR=2

odatle

R=1/π=0,3183....

Zatim određujemo površinu kruga:

K=πR²=π(1/π)²=1/π=0,3183...m²

267. Zadatak. Konstruisati kvadrat koji je jednak datome krugu.

Ovaj zadatak, poznat pod imenom kvadratura kruga, ne može da se reši pomoću lenjira i šestara. Zaista, ako sa x označimo stranu traženog kvadrata, a sa R poluprečnik kruga, dobićemo jednačinu:

x²=πR²

odakle

πR:x=x:R

tj. x je srednja proporcionala između polovine kružne linije i poluprečnika.

Prema tome, ako je poznata duž čija je dužina jednaka polovini kružne linije, onda se lako može konstruisati kvadrat jednak datom krugu, i obrnuto, ako je poznata strana kvadrata jednakog krugu, onda se može konstruisati i duž koja je jednaka polovini kružne linije. Ali pomoću lenjira i šestara ne može da se konstruiše duž koja je po dužini jednaka polovini kružne linije; prema tome, ne može tačno da se reši zadatak o konstruisanju kvadrata koji je jednak krugu. Približno rešenje može da se izvrši, ako se prethodno nađe približna dužina polovine kružne linije i konstruiše srednja proporcionala između ove dužine i poluprečnika.

268. Teorema. Površina isečka jednaka je proizvodu iz dužine njegovog luka i polovine poluprečnika.

Neka luk AB (sl. 261) isečka AOB sadrži n°. Očevidno da površina isečka čiji je luk 1º čini 1/360 deo površine kruga, tj. ona iznosi πR²/360. Znači površina isečka čiji luk sadrži n° biće:

S=πR²n/360=(πRn/180)·R/2

Pošto razlomak πRn/180 predstavlja dužinu luka AB (§239), to, označivši je slovom s, dobijamo:

S=s·R/2

269. Površina odsečka. Da bi se našla površina odsečka ograničenog lukom s i tetivom AB (sl. 261), potrebno je od površine isečka AOBsA oduzeti površinu trougla AOB. Uostalom, ako luk s ima mali broj stepeni, površina odsečka može da se približno izračuna po obrascu (koji navodimo bez dokaza):

površina odsečka=2/3bh    (1)

gde je b osnovica odsečka (sl. 262) a h - njegova visina (koja se obično zove strelica odsečka).

Dokazano je da je pogreška pri izračunavanju rezultata po ovom obrascu utoliko manja, ukoliko je manji odnos h:b; tako, ako je һ manje od 1/9b (što će biti ako luk sadrži manje od 50°), onda greška iznosi manje od 1% površine.

Tačniji rezultat daje obrazac:

površina odsečka=2/3bh+h³/2b     (2)