Bezjeove površi

Osobine Bezjeovih površi

• sintetičke površi

• konstruišu se aproksimacijom i interpolacijom zadatih tačaka

• ne dozvoljavaju lokalnu promenu oblika - pomeranjem neke kontrolne tačke menja se oblik cele površi s tim da se promena smanjuje udaljavanjem od pomerene kontrolne tačke

• granične krive Bezjeovih površi (p(u,0), p(0,v), p(u,1), p(1,v)) su Bezjeove krive

• sve krive na površi kada su u ili v parametri konstantni su Bezjeove krive

• prolaze kroz kontrolne tačke u uglovima (ćoškovima), ali ne prolaze kroz ostale kontrolne tačke

• oblik površi prati kontrolne tačke - površ je raširena preko kontrolnih tačaka i kao da je svaka privlači ka sebi

• leže unutar konveksnog omotača formiranog od kontrolnih tačaka

• transformacije (pomeranje, obrtanje i slično pretvaranje (skaliranje)) primenjene na kontrolne tačke imaju isti uticaj i na površ

• Bezjeove površi su glatke i imaju kontinuitet zakrivljenosti. Kontinuitet zavisi od stepena površi.

Bezjeova površ stepena (n,m) se konstruiše pomoću skupa kontrolnik tačaka k_i,j (n+1)(m+1), gde  0≤i≤n i 0≤j≤m.

Parametarski oblik jednačine Bezjeovih površi:

$P{\left( {u,v} \right)}=\sum_{i=0}^{m} {\sum_{j=0}^{n} {{p}_{ij}\ {B}_{i,n}{\left( {u} \right)}\ {B}_{j,m}{\left( {{v}} \right)}}}$

${B}_{i,n}{\left( {u} \right)}$ je Bernštajnov polinom

U CAD sistemima se kontrolne tačke obično spajaju isprekidanim linijama koje se nazivaju linije kontrolne mreže, a CAD sistem na površi prikaže neke od linija sa konstantnim u i v. Parametri se obično označavaju sa u i v, i njihova vrednost ide od 0 do 1.

Bezjeove površi su bile prve površi slobodnog oblika koje su se počele koristiti u CAD/CAM sistemima. Danas su one potisnute od strane B-splajn površi tj. njihove unapređene verzije koja se naziva NURBS površi. Ako danas u CAD sistemima naiđete na alatke za konstruisanje Bezjeovih kriva i površi, to su tragovi koji su ostali iz prošlosti. Neki CAD sistemi imaju alatku koja služi da pretvori NURBS površi na Bezjeove. 3D CAD sistemi novijeg datuma obično nemaju alatke za konstruisanje ove vrste kriva i površi. .

Bezjeove površi imaju nekoliko dosta velikih nedostataka:

• nemogućnost lokalne promene oblika - Pomeranje jedne kontrolne tačke menja oblik cele površi što onemogućava fino lokalno prilagođavanje oblika

• stepeni površi zavise od broja kontrolnih tačaka što onemogućava predstavljanje složenih detalja - da bi oblik površi mogao da ima složene detalje potrebno je povećati broj kontrolnih tačaka što povećava stepen površi. Posledica je usložnjavanje matematičkih proračuna i pojava neželjenih ispupčenja. 

• Bezjeove površi nisu pogodne za modeliranje oštrih ivica i pregiba

• pošto se Bezjeove površi opisuju pomoću polinoma sa njima nije moguće predstaviti veliki broj analitičkih funkcija. Ovaj problem je rešen pomoću NURBS površi jer se kod njih može menjati težina (stepen privlačenja površi) svake kontrolne tačke.

• da bi se konstruisala složena površina nekog predmeta potrebno je međusobno spojiti više Bezjeovih površi. Pošto se prilikom bilo kakve lokalne promene menja oblik cele površi, na spojevima između površi se pojavljuju mali procepi

• proračuni određenih operacija sa Bezjeovim površima znaju da budu veoma složeni što negativno utiče na brzinu rada u softveru

• proračun interpolirane Bezjeove površi je mnogo složeniji nego aproksimativne.

Zbog ovih nedostataka moderni 3C CAD softveri umesto Bezjeovih koriste NURBS geometriju koja nema ove nedostatke.

Bezjeove površi se u CAD sistemima konstruišu pomoću Bezjeovih kriva, a Bezjeove krive se konstruišu unosom kontrolnih tačaka. Oblik ovih površi se menja pomeranjem kontrolnih tačaka, a ako je površ asocijativna sa krivama pomoću kojih je nastala, njen oblik se može menjati i pomeranjem kontrolnih tačaka krive.