B-Splajn površ je vrsta površi slobodnog oblika (Freeform surface) koja se u 3D CAD sistemima (Sistemima za projektovanje pomoću računara) koristi za predstavljanje glatkih zakrivljenih oblika.

Prve površi slobodnog oblika koje su se počele koristiti u 3D CAD sistemima su bile Bezjeove površi, ali se brzo primetilo da one imaju dve velike mane. Prva je da broj kontrolnih tačaka direktno zavisi od stepena, što je veliki problem pošto je za bilo kakvo usložnjavanje oblika potrebno povećati broj kontrolnih tačaka, a time i stepen površi. Površi sa velikim stepenom čine proračune složenim i nisu praktične za upotrebu. Druga velika mana Bezjeovih površi je nemogućnost lokalne promene oblika, ako npr. promenimo položaj neke kontrolne tačke promeniće se oblik cele površi, a ne samo detalj u okolini pomerene kontrolne tačke. Zbog ovih nedostataka Bezjeove površi su u 3D CAD sistemima zamenjene sa B-Splajn, preciznije rečeno njihovom unapređenom verzijom koja se naziva NURBS.

 

B-Splajn površi

 

Da bi se u CAD sistemu konstruisala B-Splajn površ neophodno je raspolagati sa: 

  • mrežom kontrolnih tačaka u pravcima u i v (njihovim položajem),

  • vektorima čvorova u pravcima u i v,

  • stepenima u pravcu u i v.

Kao što znamo za konstruisanje B-Splajn kriva je neophodno raspolagati sa istim podacima, ali samo u jednom pravcu npr. u.

Stepen određuje glatkoću površi, a kontrolne tačke „privlače površ“ i na taj način određuju njen oblik. Kod B-Splajn površi sve kontrolne tačke imaju isti uticaj na površ tj. sve kontrolne tačke ima istu Težinu (Stepen privlačenja). Promenom položaja kontrolnih tačaka menja se oblik B-Splajn površi.

 

Parametarska B-Splan površ se konstruiše kombinovanjem (množenjem) dve B-Splajn krive tj. pomoću tenzorskog proizvoda njihovih osnovnih funkcija.

 

Ako imamo:

  • mrežu kontrolnih tačaka pi,j  u dva pravca (m+1, n+1), gde je 0≤i≤m i 0≤j≤n,

  • vektor čvorova h u pravcu u (u=u0, u1,…,up),

  • vektor čvorova k u pravcu v (v=v0, v1,…,vq),

  • stepen p u pravcu ustepen q u pravcu v.

 

Broj elemenata vektora h i k se računaju prema jednačinama h=m+p+1 i k=n+q+1, gde su n i m brojevi kontrolnih tačaka po pravcima u i v, a p i q su stepeni osnovnih funkcija

Parametarska jednačina B-Splajn površi na osnovu ovih podataka ima sledeći oblik:

 

$P{\left( {u,v} \right)}=\sum_{i=0}^{m} {\sum_{j=0}^{n} {{p}_{ij}\ {N}_{i,p}{\left( {u} \right)}\ {N}_{j,q}{\left( {{v}} \right)}}}$

 

${N}_{i,p}{\left( {u} \right)}$  i  ${N}_{j,q}{\left( {{v}} \right)}$ su osnovne polinomske funkcije iste kao kod B-Splajn kriva

 

B-Splajn površi su proširenje koncepta B-Splajn kriva tj. B-Splajn površi se isto kao B-Splajn krive sastoje od više jednostavnih segmenata (raspona) koji se opisuju polinomskim funkcijama. Razlika je samo što se krive matematički opisuju sa jednim parametrom (npr. u), a površi sa dva (u i v). Drugim rečima, B-splajn površ se sastoji od određenog broja međusobno slepljenih jednostavnih površi (Bezjeovih površi) između kojih postoji gladak prelaz tj. kontinuitet zakrivljenosti.

 

Pošto su B-Splajn površi nadogradnja B-Splajn kriva i osobine su im slične.

Osobine B-Splajn površi:

  • stepen je nezavisan od broja kontrolnih tačaka
  • moguća je lokalna kontrola oblika tj. moguće je promeniti oblik dela površi bez uticaja na ceo oblik. Npr. ako se promeni položaj neke kontrolne tačke promeniće se oblik samo regiona oko nje, a ne cele površi što je slučaj kod Bezjeovih površi
  • mogu se konstruisati pomoću koliko god kontrolnih tačaka
  • oblik prati kontrolne tačke - površ je raširena između kontrolnih tačaka i kao da je svaka privlači ka sebi
  • mogu se konstruisati interpolacijom ili aproksimacijom skupa tačaka
  • sve kontrolne tačke imaju istu težinu tj. sve kontrolne tačke imaju isti uticaj na oblik površi
  • ako dve ili više uzastopnih kontrolnih tačaka dele isti položaj kriva će biti jače privučena (kao da je povećana težina kontrolne tačke na tom mestu),
  • kontrolne tačke ne leže na površi. Površ ne mora da prolazi kroz (interpolira) kontrolne tačke na uglovima (p0,0, pn,0, p0,m i pn,m) kao kod Bezjeovih površi.
  • leže unutar konveksnog omotača formiranog od kontrolnih tačaka
  • granične krive P(u,0), P(0,v), P(u,1), P(1,v) su B-Splajn krive
  • sve krive kada su u ili v parametri konstantni su B-Splajn krive
  • Afina invarijantnost: transformacije (pomeranje, obrtanje i slično pretvaranje (skaliranje)) primenjene na kontrolne tačke imaju isti uticaj i na površ.


B-Spline površi imaju veliki nedostatak jer se pomoću njih ne mogu opisati nekoliko vrsta analitičkih površi koje se često sreću u praksi.

 

Submitted by Čeh Jan on