Stepen kriva slobodnog oblika

Matematički pristup: Polinomi su funkcije koje se zbog svoje jednostavnosti najčešće koriste za predstavljanje kriva slobodnog oblika. Polinomi su funkcije koje se dobijaju sabiranjem stepenih funkcija: 

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … +  a₁x + a₀,    n ∈ N ∪ {0},  a₀, . . . , a_n ∈ C,

Matematički gledano, stepen polinoma je najveći eksponent (stepen) promenljive u jednačini, t.j. stepen polinoma je jednak n ako je a_n različito od nule. Na primer, stepen polinoma 3x³- x²+ 2x +1 je 3; stepen polinoma (-3x⁵+ x³- 4x) je 5, i tako dalje. Splajn krive se sastoje od međusobno spojenih segmenata (raspona) čiji oblici se opisuju polinomima. Stepen splajn kriva je jednak najvećem stepenu u polinomskim jednačinama koje opisuju segmente.

Na sledećoj slici možete videti izgled krive raznih stepena:

• Splajn kriva stepena 1 je niz zajedno spojenih pravih segmenata, odnosno izlomljenja linija. Drugim rečima, kod splajn kriva koje imaju stepen 1 rasponi su u obliku pravih linija, t.j. u obliku polinoma prvog stepena (linearnog polinoma: y = ax + b).

• Splajn kriva stepena 2 se sastoji od međusobno spojenih segmenata u obliku kružnih lukova, eliptičnih lukova, parabola…, odnosno u obliku polinoma drugog stepena (kvadratnog polinoma: y = ax² + bx + c). Nedostatak splajn kriva drugog stepena je što nemaju dovoljno gladak prelaz između raspona, t.j. kontinuitet u čvorovima im je mali.

• Splajn krive stepena 3 se sastoje od međusobno spojenih segmenata u obliku kubnih bezjeovih kriva, kubnih splajn kriva…, odnosno u obliku polinoma trećeg stepena (kubnog polinoma: y = ax³ + bx² + cx + d). Splajn krive stepena 3 imaju na čvorovima G2 kontinuitet. G2 kontinuitet obezđuje nevidljiv prelaz sa jedne na drugu krivu i ove krive se uglavnom koristite za modeliranje manje zahtevnih 3D modela. Splajnovi trećeg stepena zahtevaju manje kontrolnih tačaka tako da je sa njima jednostavnije raditi i ne zahtevaju veliku snagu računara. 

• Splajn krive stepena 5 se sastoje od međusobno spojenih segmenata u obliku polinoma petog stepena. Splajn krive stepena 5 imaju na čvorovima G4 kontinuitet koji obezbeđuje „savršen“ prelaz sa jedne na drugu krivu. Ove krive zahtevaju veći broj kontrolnih tačaka tako da je rad sa njima sporiji i zahteva malo veću snagu računara. Krive sa stepenom 5 (ili ponekad 7) se koriste za zahtevne 3D modele uglavnom karakteristične za auto-industriju, vazduhoplovnu industriju, brodogradnju…

Krive slobodnog oblika sa stepenom 5 će zadovoljiti većinu potreba i kod većine površinskih CAD softvera je to unapred podešen stepen prilikom crtanja novih krivi. Stepen 5 pruža optimalan balans između geometrijske glatkoće kriva i jednostavnosti korišćenja. 

Ako u radu koristite krive sa stepenom većim od 3, vodite računa da neki jeftiniji ili jednostavniji softveri ne podržavaju rad sa ovakvim krivama. Ovo može izazvati probleme prilikom razmene 3D modela.

Krive sa stepenom većim od 5 obično nisu praktične za upotrebu. Takve krive počinju mnogo da ostupaju od oblika koji formiraju linije kontrolnog mnogougla (kontrolni mnogougao), a što je stepen veći teže ih je precizno kontrolisati. 

Stepen nam takođe govori i o broju mogućih krivina (pregiba) na jednom rasponu, odnosno koliko raspon ima stepeni slobode da se savije. Maksimalni broj savijanja raspona dobijamo kada od vrednosti njegovog stepena oduzmemo broj jedan (stepen - 1). Prava linija ima stepen 1, tako da nema ni jedno savijanje (stepen - 1), krive stepena 2 (kružni luk, parabola...) mogu imati samo jedno savijanje, krive stepena 3 mogu imati 2 savijanja itd. Splajn krive koje najčešće crtamo u CAD softverima obično imaju stepen 3 ili 5 tako da mogu imati najviše 2 ili 4 savijanja. Vodite računa da ovde ne pričam o celim splajn krivama već o rasponima od kojih se splajn krive sastoje, odnosno o segmentima kriva koje se nalaze između čvorova. 
      
Položaj mesta savijanja se može kontrolisati samo kod splajn kriva sa stepenom većim od 2.

Korisnike 3D CAD softvera ne zanima mnogo viša matematika koja stoji iza kriva slobodnog oblika (Splajn, B-splajn, NURBS...) i za njih je najbitnije znati:

• povećanjem stepena se može kontrolisati broj kontrolnih tačaka na krivi,

• u radu se najčešće koriste krive sa stepenima 3 i 5,

• krive sa stepenom 3 se koriste za površinsko modeliranje manje kvalitetnih 3D modela, a krive sa stepenom 5 za modeliranje 3D modela visokog kvaliteta. S obzirom na današnju snagu računara, možete slobodno uvek koristiti krive sa stepenom 5.

CAD softveri za površinsko modeliranje obično imaju posebnu alatku kojom se može menjati stepen kriva slobodnog oblika. Alatka se obično zove Promeni stepen (Change Degree) ili sl.

U tekstovima o splajn krivama ili prilikom korišćenja CAD softvera često ćete nailaziti i na karakteristiku kriva koja se naziva Red krive (Curve order). Red krive je pozitivan celi broj za jedan veći od stepena (Stepen + 1). Obično se red krive koristi kod jednorasponskih kriva, a stepen kod višerasponskih.

Što je veći red krive (stepen krive) to će pomeranje neke kontrolne tačke imati manji lokalni, a veći globalni uticaj na oblik krive (obuhvataće veći deo krive). Drugim rečima, što je red krive veći to će se promene položaja kontrolne tačke propagirati na veći broj susednih kontrolnih tačaka. Takođe, što je veći red t.j. stepen krive ona je ravnija (ispeglanija).