Pojam o merenju veličina

Ovo smo radili pri proučavanju odnosa između strana i uglova u trouglu (§ 46 i 47), pri upoređivanju dužina prave i izlomljene linije (§ 50 i 51) i u nekim drugim slučajevima (§ 53, 54, 55). Ali upoređivanje duži ne daje tačne pretstave o veličini svake od njih.

Postavimo sebi za zadatak da se tačno definiše pojam o dužini duži i da se odredi način da se ova dužina izrazi pomoću brojeva.

145. Zajednička mera. Zajednička mera dveju duži je takva treća duž koja se u svakoj od njih sadrži bez ostatka.

Ako se duž AM (sl. 162) sadrži pet puta u AB i tri puta u CD, onda je duž AM zajednička mera AB i CD. Na isti način se može govoriti o zajedničkoj meri dva luka jednakih poluprečnika, dva ugla i uopšte dve srodne veličine.

Napomena. Očevidno je da ako duž AM, koja je zajednička mera duži AB i CD, podelimo na 2, 3, 4 itd. jednakih delova, onda ćemo dobiti manje zajedničke mere AB i CD. Na taj način, ako dve duži imaju zajedničku meru, onda se može reći da one imaju bezbroj zajedničkih mera. Jedna od njih biće najveća.

146. Teoreme na kojima se osniva iznalaženje najveće zajedničke mere. Da bi se odredila najveća zajednička mera dveju duži, primenjuje se način postupnog prenošenja duži, Slično traženju u aritmetici pomoću deljenja najveće zajedničke mere dva cela broja. Ovaj način se zasniva na sledećim teoremama.

1) Ako se manja duž (A i B, sl. 163) sadrži bez ostatka u većoj, onda je ona najveća zajednička mera za obe duži.

Neka se, na primer, duž B sadrži u A tačno 3 puta; pošto se duž B u sebi sadrži 1 put, onda je duž B zajednička mera za A i B. Ona je najveća, pošto nijedna duž, veća od B, ne može da se sadrži u B ceo broj puta bez ostataka.

2) Ako se manja duž (B, sl. 164) sadrži u većoj (A) ceo broj puta sa nekim ostatkom (R), onda najveća mera ovih duži (ako ona postoji) mora biti najveća mera manje duži (B) i ostatka (R). Neka, na primer:

A = B + B + B + R.

Iz ove jednakosti se mogu izvesti dva zaključka:

1) Ako postoji duž koja se sadrži bez ostataka u B i R, onda će se ona sadržati bez ostataka i u A; ako se, na primer, neka duž sadrži u B tačno 5 puta a u R 2 puta, onda će se ona u A sadržavati 5+5+5+2, tj, 17 puta bez ostatka.

2) Obrnuto: duž koja se sadrži bez ostataka u A i B sadržavaće se bez ostataka i u R; ako se, na primer, neka duž sadrži u A 17 puta i u B 5 puta, onda će se ona u onom delu A koji je jednak 3 B sadržavati 15 puta, a u ostatku R-17-15=2 puta.

Na taj način u dva para duži

A i B, i, B i R

moraju biti iste zajedničke mere (ako one postoje); prema tome imaju i istu najveću zajedničku meru.

Ovim dvema teoremama dodaje se još aksioma merenja (Arhimedova aksioma):

Ma koliko da je velika veća duž (A) i ma koliko da je mala manja duž (B), uvek prenošenjem manje na veću duž 1, 2, 3 i Više puta, posle prenošenja, ili se neće dobiti nikakav ostatak, ili se dobija ostatak manji od manje duži (B); drugim rečima, uvek se može naći ceo pozitivan broj m da B·m<A i u isto vreme B·(m+1)>A.

147. Traženje najveće zajedničke mere dveju duži. Da bismo našli najveću zajedničku meru dveju datih duži AB i CB (sl. 165), manju duž prenosimo (pomoću šestara) na veću onoliko puta, koliko je mogućno.

Pri ovome, shodno aksiomi merenja, mogu da se dese dva slučaja: 1) CD se sadrži u AB bez ostatka; tada će CD biti najveća zajednička mera; 2) dobije se neki ostatak EB, manji od CD (kao na slici); tada, shodno drugoj teoremi, pitanje se svodi na traženje najveće zajedničke mere za dve manje duži, CD i prvog ostatka EB.

Da bi se ona našla, prenosimo EB na CD onoliko puta, koliko je mogućno.

I opet će se desiti: ili 1) EB se sadrži u CD bez ostatka, i tada će EB biti tražena mera, ili 2) preostaje ostatak FD manji od EB (kao kod nas na slici); tada se traženje zajedničke mere svodi na traženje najveće mere EB i drugog ostatka FD.

Tako se postupa i dalje, i imaćemo dve mogućnosti:

1) posle izvesnog prenošenja ne dobija se nikakav ostatak ili 

2) proces postupnog prenošenja nema kraja (pretpostavlja se da smo u stanju prenositi duži ma koliko da su male, što je naravno, mogućno samo teorijski).

U prvom slučaju poslednji ostatak biće najveća zajednička mera datih duži. Da bi se lakše izračunalo koliko se puta ta zajednička mera sadrži u svakoj duži, pišemo niz jednakosti koje se dobijaju posle svakog prenošenja.

Prema našoj slici, na primer, imaćemo:
posle prvog prenošenja .......... AB=3CD+EB;
posle drugog prenošenja ........ CD=2EB+FD;
posle trećeg prenošenja ......... EB = 4 FD.

Iz ovih jednakosti imamo: EB=4FD;

CD=4(FD)·2+FD=9FD; AB = (9FD)·3+4FD = 31FD.

Na isti način može se naći najveća zajednička mera za dva luka jednakih poluprečnika, za dva ugla itd.

U drugom slučaju date duži ne mogu imati zajedničke mere Da bi se ovo konstatovalo pretpostavimo da duži AB i CD imaju neku zajedničku meru. Ova mera, kao što smo videli, mora da se sadrži bez ostatka ne samo u AB i CD već i u prvom ostatku EB, drugom ostatku FD itd. Pošto se ostaci stalno smanjuju, onda se ta mera u svakom od njih mora sadržati manji broj nego li u prethodnom ostatku. Ako se, na primer, zajednička mera "EB sadrži 100 puta (uopšte m puta), onda se u FD mora sadržavati manje od 100 puta (dakle ne više od 99 puta); u sledećem ostatku sadržaće se manje od 99 puta (znači, ne više od 98 puta) itd. Pošto red celih pozitivnih brojeva koji opadaju: 100, 99, 98... (i uopšte: m, m-1, m-2,...) ima kraj (ma koliko da je velik broj m, onda i proces postupnog prenošenja ima završetak, odnosno na kraju krajeva ne preostaje nikakav ostatak. Znači, ako postupno prenošenje nema kraja, onda i date duži nemaju zajedničke mere.

148. Samerljive i nesamerljive duži. Dve duži koje imaju zajedničku meru zovu se samerljive, ako nemaju zajedničke mere nesamerljive.

U praksi je nemoguće da se uverimo da nesamerljive duži postoje, pošto ćemo na kraju krajeva dobiti tako mali ostatak koji će se, naizgled, sadržavati u prethodnom bez ostatka.

Možda bi se pri ovome i morao dobiti neki ostatak, ali zbog netačnosti sprava (šestara) i nesavršenosti naših organa čula (vida), mi nismo u stanju da ga primetimo. Ipak, kao što ćemo se odmah uveriti, nesamerljive duži postoje.

149. Teorema. Dijagonala kvadrata nesamerljiva je s njegovom stranom.

Pošto dijagonala deli kvadrat na dva ravnokraka pravougla trougla, onda se može reći: hipotenuza ravnokrakog pravouglog trougla nesamerljiva je s katetom.

Prethodno dokažimo sledeću osobinu ovog trougla: ako na hipotenuzu (sl. 166) prenesemo duž AD jednaku kateti i povučemo DE⊥AC, onda dobijeni pravougli trougao DEC biće ravnokraki, a odsečak BE katete BC jednak je odsečku DC hipotenuze AC. Radi dokaza povucimo pravu BD i rasmotrimo uglove trouglova DEC i BED. Pošto je trougao ABC ravnokraki i pravougli, onda je ∢1=∢4=∢45°, a prema tome u pravouglom trouglu DEC i ∢2=∢45°, a to znači da su strane DC i DE jednake.

U trouglu BDE ugao 3 jednak je razlici pravog ugla B i ugla ABD, a ugao 5 jednak je razlici pravog ugla ADE i ugla ADB. Ali ∢ADB=∢ABD (pošto je AB=AD); znači i ∢3=∢5. Tada će trougao DBE biti ravnokraki i stoga BE=ED=DC.

Znajući ovo, tražimo zajedničku meru duži AB i AC. Pošto je AC>AB i AC˂AB+BC, tj. AC<2AB, onda se kateta AB sadrži u hipotenuzi AC samo jedan puta i ostaje ostatak DC.

Sada treba ovaj ostatak preneti na AB ili, što je isto, na BC. Duž BE, kao što smo videli, jednaka je DC. Znači, treba DC preneti još na EC, koja je u trouglu DEC hipotenuza.

Prema tome se proces prenošenja, da bi se našla zajednička mera, svodi na prenošenje katete DC na hipotenuzu EC u pravouglom trouglu DEC. Zatim će se prenošenje svesti na prenošenje katete na hipotenuzu drugog manjeg ravnokrakog pravouglog trougla itd., očevidno, bez kraja. A pošto se ovaj proces proužuje do u beskonačnost, onda duži AB i AC nemaju zajedničke mere.

150. Pojam o merenju duži. Da bi se dobio jasan pojam o veličini date duži, treba je uporediti s drugom poznatom duži, na primer s metrom (ova se poznata duž s kojom se upoređuju druge duži zove dužinska jedinica). Pri ovome se mogu desiti dva slučaja: ili je duž samerljiva s jedinicom, ili sa njom nije samerljiva.

1) Izmeriti duž samerljivu s jedinicom znači odrediti koliko se puta u njoj sadrži jedinica ili neki njen deo. Neka je potrebno da se izmeri jedna duž A (sl. 167) pomoću jedinice B samerljive sa A. Tada se nalazi njihova zajednička mera i određuje koliko se puta ona sadrži u B i A. Ako je zajednička mera duž B, onda će se rezultat merenja izraziti celim brojem. Neka se duž B sadrži u A tri puta; tada se kaže da dužina duži A iznosi tri jedinice. Ako je zajednička mera neki deo duži B, onda će rezultat merenja biti izražen razlomkom. Ako je zajednička mera 1/4 deo od B i ako se ona sadrži u A 9 puta (kao na sl. 167), onda se kaže da dužina duži, AB iznosi 9/4.

Broj koji se dobija posle merenja neke veličine zove se mera te veličine. Celi brojevi i razlomci zovu se racionalni brojevi.

2) Kada je duž A nesamerljiva s jedinicom B, onda se merenje vrši posrednim putem; umesto duži A mere se dve druge duži samerljive s jedinicom, od kojih je jedna veća a druga manja od A, a koje se razlikuju od A toliko malo koliko hoćemo. Da bi se našle takve samerljive duži, postupamo na sledeći način: neka, na primer, treba naći samerljive duži koje se razlikuju od A manje od 1/10 dela jedinice B. Delimo jedinicu B na 10 jednakih delova (sl. 168) i jedan takav deo prenosimo na duž A onoliko puta, koliko je mogućno. Neka se taj deo sadrži u A 13 puta s nekim ostatkom manjim od 10 B.

Na taj način dobija se duž A1, samerljiva sa B a manja od A. Ako 1/10B prenesemo još jedanput na A, onda ćemo dobiti duž A2, takođe samerljivu sa B, ali veću od A, s tim da je razlika manja od 1/10B. Dužine duži A1 i A2 izražene su brojevima 13/10 i 14/10. Ovi brojevi se uzimaju kao približne mere duži A; prvi se zove približna manja mera, a drugi približna veća mera.  Kako se duž A razlikuje od A1 i A2 manje negoli 1/10 jedinice, to se kaže da svaka od tih duži daje vrednost duži A s tačnošću do 1/10.

Uopšte, da bi se našle približne mere dužine duži A s tačnošću do 1/n dela jedinice, treba jedinicu B podeliti na n jednakih delova i videti koliko se puta 1/n deo jedinice sadrži u A; ako se sadrži u A m puta s nekim ostatkom, manjim od 1/n B, onda se brojevi m/n i m+1/n uzimaju za približne mere duži A s tačnošću do 1/n, prvi kao manja približna, a drugi kao veća približna mera.

Na ovaj način mogu se naći približni rezultati merenja i onda, kada je duž A samerljiva s jedinicom B; samo u ovom slučaju, ako to želimo, može se naći i tačan rezultat, dok se u slučaju nesamerljivosti ne može dobiti tačan rezultat pomoću samo racionalnih brojeva.

Da bi se dobio broj koji bi se mogao uzeti za tačnu meru dužine duži A, nesamerljive s jedinicom, treba primeniti ovaj postupak:

Izračunavaju se postupno približne manje mere dužine duži A s tačnošću do 0,1 do 0,01, do 0,001, i ovaj se proces produžuje do beskonačnosti, svaki put povećavajući tačnost 10 puta. Na taj način će se dobijati desetni razlomci s jednom decimalom, zatim sa dve, tri i sa sve većim brojem decimala. Neograničeno produženje ovog procesa određuje beskrajan neperiodičan desetni razlomak; (ovaj razlomak ne može da bude periodičan; u protivnom slučaju on bi se mogao pretvoriti u običan razlomak, a to bi značilo da je duž A samerljiva s jedinicom B).

Iz algebre je poznato da svaki beskrajni neperiodični desetni razlomak određuje neki iracionalan broj. Takvi se brojevi, na primer, dobijaju pri izvlačenju kvadratnog korena iz broja, kada se koren ne može tačno izvući. Tako, √2 je iracionalan broj koji se može napisati kao beskrajan desetni razlomak):

√2=1,4142...

Prema tome, beskrajni desetni razlomak, koji se dobija pri približnom merenju duži A, nesamerljive s jedinicom B, određuje neki iracionalan broj. Ovaj broj se uzima za tačnu meru duži A.

Beskrajan desetni razlomak ne može, naravno, da se potpuno napiše na hartiji, pošto ima bezbroj decimala. Ali on se smatra kao poznat, ako je poznat način na koji se može odrediti ma koji broj njegovih decimala.

Napomena. Isti iracionalni broj može se dobiti ako se izračunavaju približne veće mere dužine duži A sa tačnošću 0,1; 0,01; 0,001... Zaista, dve približne vrednosti izračunate s istom decimalnom tačnošću od kojih je jedna manja a druga veća, razlikuju se samo poslednjom decimalom. Pri postupnom povećanju stepena tačnosti ova se poslednja decimala pomera, sve dalje desno od desetne zapete, tako da broj zajedničkih decimala postaje sve veći i veći. Pošto proces traje do beskonačnosti, u oba ova slučaja će se dobiti isti beskrajni desetni razlomak, odnosno isti iracionalni broj. Tačna vrednost beskrajnog desetnog razlomka smatra se da je veća od ma koje njegove manje približne vrednosti.

151. Beskrajni desetni razlomci. Upotreba beskrajnih desetnih razlomaka u algebri zasniva se na sledećim definicijama: 

Beskrajan desetni razlomak smatra se kao stvaran broj. 

Dva beskrajna desetna razlomka smatraju se kao jednaki ako su im jednake decimale istoga reda.

Od dva nejednaka beskrajna desetna razlomka kao veći stvarni broj smatra se onaj kod koga je veća prva od nejednakih decimala istoga reda.

Ako su u jednom beskrajnom desetnom razlomku sve decimale počev od nekog mesta jednake nuli, onda se smatra da je razlomak jednak konačnom desetnom razlomku, koji se dobija kad se u datom beskrajnom razlomku izostave sve nule desno od poslednje važeće cifre. Tako beskrajni desetni razlomak 7,8530078000... jednak je konačnom razlomku 7,8530078. Beskrajni periodični razlomak sa periodom 9 uvek se zamenjuje konačnim desetnim razlomkom koji se dobija kad se poslednja decimala ispred 9 poveća za 1 a period odbaci. Tako razlomak 3,72999... zamenjuje se konačnim brojem 3,73.

152. Približne vrednosti beskrajnog desetnog razlomka. Ako se dati beskrajni desetni razlomak prekine na n-om desetnom mestu, onda se dobija manja približna vrednost beskrajnog razlomka sa tačnošću 1/10n. Ako se u ovom razlomku poslednja decimala poveća za 1, tj. ako se doda  1/10n, onda se dobija veća približna vrednost s istom tačnošću. Ako manju približnu vrednost stvarnog broja α sa n decimala označimo sa αn, a veću sa α'n, onda je α'n=αn+1/10n. Iz definicije nejednakosti stvarnih brojeva sleduje da je stvaran broj veći od svoje manje približne vrednosti, a manji od veće približne vrednosti. Neka je, na primer, dat stvarni broj koji određuje √2=1,414... Njegove približne vrednosti sa tačnošću do 0,01 su: manja 1,41 a veća 1,42.

Pošto

1,41 = 1,41000...
1,42 = 1,42000....

onda, shodno definiciji nejednakosti stvarnih brojeva, imamo: 1,41000.....˂1,414...˂1,42000..., ili 1,41<√2˂1,42.

153. Računske radnje sa stvarnim brojevima. Sabiranje. Data su dva stvarna broja α i β. Neka njihove približne vrednosti s n desetnih mesta budu: manje α_n i β_n veće α'_n i β'_n.

Pri ovome:

α'_n= α_n+1/10ⁿ ;      β'_n= β_n+1/10ⁿ            (1)

Sastavimo zbirove α_n+β_n i α'_n+β'_n.

Svaki od njih je desetni razlomak sa n decimala. Prvi broj obeležimo sa γ_n a drugi sa γ'_n:

α_n+β_n= γ_n;     α'_n+β'_n= γ'_n

Sabiranjem jednakosti (1) dobićemo:

α'_n+β'_n =α_n+β_n+2/10ⁿ   ili γ'_n=γ_n+2/10ⁿ

Ova jednakost pokazuje da se razlomak γ'_n dobija iz γ_n dodavanjem dve jedinice poslednjoj decimali. Pustimo sada n da raste. Tada će razlomak γ_n dovesti do formiranja beskrajnog desetnog razlomka koji ćemo obeležiti sa γ. Razlomak γ biće ili periodičan ili neperiodičan broj. Pretpostavimo da je neperiodičan broj. Tada će sadržavati u sebi bezbroj decimala koje nisu 9 i njihov broj raste kada raste n. Dodavanje razlomku γ_n broja 2/10ⁿ ne utiče na njegove decimale levo od dve poslednje decimale koje nisu 9. Stoga će broj zajedničkih decimala razlomaka γ_n i γ'_n biti sve veći kada n raste. Prema tome γ_n i γ'_n, ako n raste, dovode do formiranja istog beskrajnog desetnog razlomka. Iz izloženog naravno sleduje da za svako n

γ_n< γ <γ'_n     (2)

Pretpostavimo sada da je γ periodičan broj. Tada će on predstavljati neki racionalan broj koji takođe zadovoljava nejednakosti (2).

Definicija. Stvarni broj γ koji zadovoljava nejednakosti (2) zove se zbir stvarnih brojeva α i β:

γ=α+β

154. Druge računske radnje sa stvarnim brojevima. Analogno prednjoj definiciji može se odrediti razlika dva stvarna broja, proizvod i količnik. Detaljnije izučavanje rezultata ovih računskih radnji pokazuje da na ovaj način definisani zbir i proizvod stvarnih brojeva podleže osnovnim zakonima koji važe za racionalne brojeve: za zbir važe permutativni i asocijativni zakoni:

α+β=β+α ,    (α+β)+γ=α+(β+γ)

a za proizvod - permutativni, asocijativni i distributativni zakoni:

αβ=βα,    (αβ)γ=α(βγ),     (α+β)γ=αγ+βγ

U slučaju periodičnih desetnih razlomaka računske radnje nad njima daju, što se da lako videti, iste rezultate kao i radnje sa običnim razlomcima, koji se dobijaju posle pretvaranja periodičnih razlomaka u obične.

Prema tome, racionalni brojevi su samo jedan specijalan vid stvarnih brojeva.

155. Razmera dve duži. Broj koji se dobija kao rezultat merenja duži A zove se merni broj duži. Ako je duž A samerljiva s jedinicom merenja, onda je merni broj racionalan. Ako je duž nesamerljiva s dužinskom jedinicom, onda je merni broj iracionalan broj, izražen beskrajnim neperiodičnim desetnim razlomkom.

U daljem izlaganju pod dužinom duži se podrazumeva njen merni broj za određenu jedinicu merenja. Razmera dve duži je razmera njihovih mernih brojeva. Razmera dve duži ne zavisi od jedinice merenja. Ako na primer, mesto izabrane jedinice uzmemo drugu, 3 puta manju, onda će se ona u svakoj duži sadržavati tri puta više. Od toga razlomak koji predstavlja razmeru duži neće da se promeni, pošto njegov brojilac i imenilac postaje tri puta veći. Ako su date duži samerljive, onda je pri izračunavanju njihove razmere najzgodnije za jedinicu uzeti njihovu zajedničku meru. Tada će njihova razmera biti jednaka razmeri brojeva koji pokazuju koliko se zajednička mera sadrži u svakoj od datih duži.