Pravila sličnosti pravouglih trouglova

1) ako je oštar ugao jednoga jednak oštrom uglu drugoga, ili 
2) ako su katete jednoga proporcionalne katetama drugo trougla.

Pravilo koje traži poseban dokaz

164. Teorema. Ako su hipotenuza i jedna kateta jednog trougla proporcionalne hipotenuzi i kateti drugoga, onda su trouglovi slični.

Neka su ABC i A₁B₁C₁ (sl. 174) dva trougla kod kojih su uslovi B i B₁ pravi i

AB/A₁B₁=AC/A₁C₁     (1)

Treba dokazati da su trouglovi slični.

Radi dokaza upotrebićemo način koji smo primenjivali ranije. Na AB prenosimo BD=A₁B₁ i povucimo DE∥AC. Tada će se dobiti △DBE sličan △ABC. Dokažimo da je on podudaran △A₁B₁C₁. Iz sličnosti trouglova ABC i DBE sleduje:

AB/DB=AC/DE         (2)

Upoređivanjem (1) i (2) proporcije nalazimo da su im, usled jednakosti prvih razmera, jednake i druge razmere, tj.

AC/DE=AC/A₁C₁   odakle DE=A₁C₁.

Sada vidimo da trouglovi DBE i A₁B₁C₁ imaju jednake hipotenuze i po jednu katetu; prema tome oni su podudarni. A pošto je jedan od njih sličan △ABC, biće njemu sličan i drugi.

165. Teorema (o razmeri visina). U sličnim trouglovima odgovarajuće strane su proporcionalne odgovarajućim visinama, tj. onim visinama koje su spuštene na odgovarajuće strane.

Ako su trouglovi ABC i A₁B₁C₁ (sl. 175) slični, onda su i pravougli trouglovi BAD i B₁A₁D₁, takođe slični, (∢A=∢A₁, i ∢D=∢D₁), stoga:

BD/B₁D₁=AB/A₁B₁=BC/B₁C₁=AC/A₁C₁

166. Šestar za deljenje duži. Na sličnosti trouglova osniva se upotreba šestara za deljenje pomoću koga se može data duž podeliti na nekoliko jednakih delova.

Ova sprava se sastoji iz dva jednaka kraka (sl. 176) Ab i Ba čiji su krajevi zaoštreni. Duž krakova napravljeni su prorezi u kojima može da se pomera pokretan šraf i da se učvrsti na ma kojem mestu krakova. Kraci se mogu raširiti ili približiti jedan drugom obrtanjem oko šrafa.

Pretpostavimo da treba duž AB podeliti na 3 jednaka dela. Radi toga ćemo šraf utvrditi u takvoj tački O da otstojanje AO bude tri puta veće od Ob (što se lako izvršuje na osnovu podeoka i cifara na ivicama proreza). Zatim otvaramo šestar i nameštamo ga kao što je pokazano na slici. Tada će otstojanje između vrhova a i b iznositi 1/3 dužine AB, pošto iz sličnih trouglova AOB i aOb sleduje:

ab : AB = Ob : OA = 1 : 3

Ostaje samo okrenuti šestar i na duž AB preneti tri puta duž ab.

167. Poprečna razmera. Na sličnosti trouglova osniva se takođe izrada poprečne razmere, kao što se vidi iz sl. 177. Neka krupniji delovi linije AB predstavljaju smanjene metre. Tada će sitniji delovi predstavljati decimetre. Da bi se dobili santimetri, potrebno bi bilo da se sitniji delovi podele na 10 jednakih delova, što bi, zbog njihove male veličine, bilo nemoguće izvršiti na samoj liniji AB. Poprečna razmera daje mogućnost odbrojavati i santimetre.

Radi objašnjenja predstavimo na zasebnoj, ali uvećanoj slici (sl. 178) onaj uzani pravougli trougao koji leži desno na našoj slici.

Paralelne prave otsecaju od ovoga trougla slične trouglove; stoga možemo da napišemo:

de : ab = ce : cb = 1 : 10;

fh : ab = ch : cb = 2 : 10 itd.

Znači,

de=(1/10)ab, fh=(2/10)ab itd.

Sada je jasno, ako na našoj razmeri uzmemo pomoću otvora šestara duž od tačke m do tačke n (sl. 177), onda će ona imati: 3m 4dm 6cm = 3,46m.