Slično pretvaranje - Konstruktivni zadaci

Metoda sličnosti sastoji se u tome da se na osnovu podataka u zadatku prvo konstruiše slika slična traženoj, a zatim se prelazi na traženu sliku. Ova metoda je veoma podesna kada je data samo jedna duž, a svi ostali podaci ili su uglovi, ili razmere duži; takvi su, na primer, zadaci: konstruisati trougao kad je dat jedan ugao, jedna strana i razmera dveju drugih strana, ili dva ugla i jedna duž (visina, srednja linija, simetrala ugla i t. sl.); konstruisati kvadrat kada je poznat zbir ili razlika dijagonale i strane i t. sl.

Rešimo, na primer, ovaj zadatak:

Zadatak 1. Konstruisati trougao kad je poznaš jedan ugao C razmera strana AB:BC koje zahvataju taj ugao i visina һ, spuštena iz temena datog ugla (sl. 189).

      Neka AC:BC=m:n, gde su m i n date duži ili dva data broja. Konstruišimo ugao C i na njegove strane prenosimo duži CA₁ i CB₁ proporcionalne sa m i n. Ako su m i n duži, onda uzmimo CA₁= m i CB₁=n. Ako su m i n brojevi, onda uzmimo proizvoljnu duž l i konstruišimo

CA₁=ml i CB₁=nl.

u obadva slučaja imamo

CA₁:CB₁=m: n.

Očevidno da je △CA₁B₁ sličan traženom trouglu. Da bi se dobio traženi trougao, povucimo u trouglu CA₁B₁ visinu һ₁. Sada uzmimo proizvoljnu tačku za centar sličnosti i konstruišimo trougao sličan trouglu A₁B₁C, tako da odnos sličnosti bude h/h₁, gde je һ visina traženog trougla. Na ovaj način dobijeni trougao biće traženi.

Najzgodnije je da se za centar sličnosti uzme tačka C. Tada će konstrukcija trougla biti vrlo jednostavna (sl. 189). Treba produžiti visinu CD₁ trougla A₁B₁C, preneti na nju duž CD=h i povući pravu AB paralelnu sa A₁B₁. Trougao ABC je traženi trougao.

U ovakvim zadacima položaj tražene slike ostaje potpuno proizvoljan; ali u mnogim pitanjima treba konstruisati sliku koja ima određeni položaj prema datim tačkama ili linijama. Pri tome može da se desi da će se dobiti bezbroj slika sličnih traženoj, ako se zanemari neki uslov položaja a zadrže svi ostali uslovi. Tada može da se primeni metoda sličnosti. Navešćemo primere.

Zadatak 2. U dati ugao ABC upisati kružnu liniju koja bi prolazila kroz datu tačku M (sl. 190).

Zanemarimo privremeno da tražena kružna linija ima da prođe kroz tačku M. Tada ćemo dobiti bezbroj kružnih linija, čiji se centri nalaze na simetrali ugla BD. Konstruišimo jednu od njih s centrom u tački O. Uzmimo na njoj tačku m koja odgovara tački M, tj. koja leži na zraku MB i povucimo poluprečnik mo. Ako sada konstruišemo MO∥mo, onda će tačka O biti centar tražene kružne linije. Ako povučemo normale ON i on prema strani AB, onda ćemo dobiti slične trouglove MBO i mBo, NBO i nBo iz kojih sleduje:

MO:mo=BO:Bo;  NO:no=BO:Bo,

odakle

MO:mo= NO:no.

Ali pošto je mo=no, imaćemo MO=NO, što znači da kružna linija čiji je poluprečnik OM a centar u O dodiruje stranu AB kao i stranu BC (jer centar leži na simetrali ugla).

Ako se za odgovarajuću tačku uzme druga presečna tačka m₁ zraka MB i kružne linije o, onda ćemo dobiti drugi centar O₁ tražene kružne linije. Prema tome naš zadatak ima dva rešenja.

Zadatak 3. U datom trouglu ABC upisati romb s datim oštrim uglom, tako da mu jedna strana leži na osnovici AB trougla ABC a dva temena na bočnim stranama AC i BC (sl. 191).

Zanemarimo privremeno uslov da jedno teme treba da leži na strani BC. Tada možemo da konstruišemo bezbroj rombova koji zadovoljavaju ostala dva uslova. Konstruišimo jedan od njih.

Uzmimo na strani AC koju bilo tačku M. U toj tački konstruišimo ugao jednak datom, tako da mu jedna strana bude paralelna sa osnovicom AB a druga da seče nju u nekoj tački N. Na strani AB prenosimo od tačke N duž NP=MN i gradimo romb sa stranama MN i NP.

Neka se njegovo četvrto teme nalazi u tački Q.

Zatim tačku A uzmimo za centar sličnosti i crtamo romb sličan MNPQ, tako da bi se teme koje odgovara temenu Q našlo na strani BC.  U tu svrhu produžujemo pravu AQ do preseka sa stranom BC u tački x. Ova će tačka biti teme traženog romba, koji će se dobiti povlačenjem iz tačke x pravih paralelnih stranama romba MNPQ. Traženi romb je xyzu.

Neka učenici reše sledeće zadatke metodom sličnosti:

1. Konstruisati trougao kad su data dva ugla i poluprečnik opisanog kruga.

2. Konstruisati trougao kad se zna razmera visine i osnovice, ugao pri vrhu i srednja linija bočne strane.

3. Dat je ugao i u njegovoj unutrašnjosti tačka C. Odrediti na strani OB tačku M koja je podjednako udaljena od OA i od tačke C.