Sličnost mnogouglova

Prema tome, ako je mnogougao ABCDE sličan mnogouglu A₁B₁C₁D₁E₁ (sl. 180), onda je ∢A=∢A₁, ∢B=∢B₁, ∢C=∢C₁, ∢D=∢D₁, ∢E=∢E₁ i

AB/A₁B₁=BC/B₁C₁=CD/C₁D₁=DE/D₁E₁=EA/E₁A₁

Strane mnogouglova AB i A₁B₁,  BC i B₁C₁, CD i C₁D₁ itd. jesu odgovarajuće (homologne) strane.

Da takvi mnogouglovi postoje, vidi se iz rešenja sledećeg zadatka.

169. Zadatak. Dat je mnogougao ABCDE i duž a. Konstruisati drugi mnogougao koji bi bio sličan datom, a čija bi strana, odgovarajuća strani AB, bila jednaka a (sl. 179).

Najlakše se ovo može konstruisati ovako. Na strani AB prenesemo AB₁=a (ako je a>AB, onda će tačka B₁ biti na produženju AB). Zatim iz tačke A povučemo sve dijagonale i prave B₁C₁∥BC, C₁D₁∥CD i D₁E₁∥DE. Tada će dobijeni mnogougao A₁B₁C₁D₁E₁ biti sličan mnogouglu ABCDE.

Zaista, prvo, mnogouglovi imaju jednake uglove; ugao A im je zajednički ∢B₁=∢B i ∢E₁=∢E kao saglasni, a ∢C₁=∢C i ∢D₁=∢D kao uglovi koji se sastoje iz jednakih delova.

Drugo, imamo proporcije:

• iz sličnosti trouglova AB1C1 i ABC: AB1/AB=B1C1/BC=AC1/AC
• iz sličnosti trouglova AC1D1 i ACD: AC1/AC=C1D1/CD=AD1/AD
• iz sličnosti trouglova AD1E1 i ADE: AD1/AD=D1E1/DE=AE1/AE

Pošto je treća razmera prvog reda jednaka prvoj razmeri drugog reda, a treća razmera drugoga prvoj razmeri trećeg reda, onda su svih devet razmera jednake među sobom. Eliminisanjem razmera koje sadrže dijagonale dobićemo:

AB₁/AB=B₁C₁/BC=C₁D₁/CD=D₁E₁/DE=AE₁/AE

Na taj način vidimo da istoimeni mnogouglovi ABCDE i A₁B₁C₁D₁E₁, imaju jednake uglove a odgovarajuće strane su im proporcionalne; znači da su mnogoulovi slični.

170. Napomena. Videli smo (§ 161) da jednakost uglova kod trouglova povlači sobom proporcionalnost strana, i obrnuto, proporcionalnost strana povlači sobom jednakost uglova; stoga je za trouglove jednakost uglova ili proporcionalnost strana potpuno dovoljna za dokaz njihove sličnosti. Za mnogouglove sama jednakost uglova ili proporcionalnost strana nije dovoljan dokaz njihove sličnosti; na primer, u kvadrata i pravougaonika uglovi su jednaki a strane nisu proporcionalne, dok u kvadrata i romba strane su proporcionalne a uglovi nisu jednaki.

171. Teorema (o razlaganju sličnih mnogouglova na slične trouglove). Slični mnogouglovi mogu se razložiti na isti broj sličnih i jednako raspoređenih trouglova.

Na primer, slični mnogouglovi ABCDE i AB₁C₁D₁E₁ (sl. 179) podeljeni su dijagonalama na slične i jednako raspoređene trouglove.

Pokažimo još jedan način razlaganja. Uzmimo u unutrašnjosti mnogougla ABCDE (sl. 180) proizvoljnu tačku O i spojimo je sa svima temenima. Tada će se mnogougao podeliti na onoliko trouglova, koliko ima strana. Uzmimo jedan od njih, na primer AOE (osenčen na slici) i na odgovarajućoj strani A₁E₁ drugog mnogougla konstruišimo uglove O₁A₁E₁ i O₁E₁A₁ jednake OAE i OEA; presečnu tačku O₁ spojimo sa ostalim temenima mnogougla A₁B₁C₁D₁E₁. Tada će se i ovaj mnogougao podeliti na isti broj trouglova. Dokažimo da su trouglovi prvog mnogougla slični odgovarajućim trouglovima drugog mnogougla. △AOE sličan je △A₁O₁E₁ zbog konstrukcije.

Da bi se dokazala sličnost susednih trouglova ABO i A₁B₁O₁ uzmimo u obzir da iz sličnosti mnogouglova sleduje:

∢BAE=∢B₁A₁E₁  i BA/B₁A₁=AE/A₁E₁     (1)

a iz sličnosti trouglova AOE i A₁O₁E₁:

∢OAE=∢O₁A₁E₁ i  AO/A₁O₁=AE/A₁E₁    (2)

Iz jednakosti (1) i (2) sleduje:

∢BAO=∢B₁A₁O₁ i  BA/B₁A₁=AO/A₁O₁

Sada vidimo da trouglovi ABO i A₁B₁O₁ imaju po jedan jednak ugao zahvaćen proporcionalnim stranama; znači, oni su slični.

Isto tako se dokazuje sličnost trouglova BCO i B₁C₁O₁, zatim COD i C₁O₁D₁ itd. Sem toga očevidno je da su slični trouglovi u obadva mnogougla jednako raspoređeni.

172. Teorema (o odnosu obima sličnih mnogouglova). Obimi sličnih mnogouglova odnose se kao ma koje dve odgovararajuće strane.

Neka su mnogouglovi ABCDE i A₁B₁C₁D₁E₁ (sl. 180) slični; tada:

AB/A₁B₁=BC/B₁C₁=CD/C₁D₁=DE/D₁E₁=EA/E₁A₁

Ako imamo niz jednakih razmera, onda se zbir svih prvih članova odnosi prema zbiru svih drugih članova kao ma koji prvi član prema svome drugom članu, stoga

(AB+BC+CD+DE+EA) / (A₁B₁+B₁C₁+C₁D₁+D₁E₁+E₁A₁) =AB/A₁B₁=BC/B₁C₁=...

173. Odnos (koeficijenat) sličnosti. Odnos odgovarajućih strana dva slična mnogougla (ili trougla) zove se odnos sličnosti ovih mnogouglova (trouglova).

174. Slično pretvaranje mnogouglova. Konstrukcija mnogougla sličnog datom ako je dat odnos sličnosti zove se slično pretvaranje datog mnogougla.

Način konstrukcije mnogougla sličnog datom, izložen u § 169, je jedan specijalni slučaj sličnog pretvaranja. Opšta metoda takvog pretvaranja sastoji se u sledećem. Treba, na primer, izvršiti slično pretvaranje četvorougla ABCD (sl. 181) ako je odnos sličnosti k. Uzmimo u ravni neku tačku O i spojimo je sa svima temenima četvorougla pravama OA, OB, OC i OD. Ha pravoj OA od tačke O prema tački A prenesimo duž O₁A=k·OA (na slici k=5/3).

Produžimo takođe pravu OB i prenesimo od tačke O prema tački B duž OB₁=k·OB.

Isto tako postupimo s pravama OC i OD. Dobićemo tačke C₁ i D₁, tako da OC₁=k·OC i OD₁=k·OD. Spajanjem tačaka A₁, B₁, C₁ i D₁ dobijamo traženi četvorougao A₁B₁C₁D₁. Iz jednakosti OA₁=k·OA, OB₁=k·OB, OC₁=k·OC i OD₁=k·OD sleduje:

OA₁/OA=OB₁/OB=OC₁/OC=OD₁/OD=k

Uporedimo trouglove OAB i OA₁B₁. Oni imaju zajednički ugao pri vrhu O i sem toga,

OA₁/OA=OB₁/OB

prema tome ovi su trouglovi slični (§ 161, 2 slučaj). Iz njihove sličnosti zaključujemo:

A₁B₁/AB=OA₁/OA=k  i  ∢OAB=∢OA₁B₁      (1)

prema tome AB∥A₁B₁ (§ 73).

Na isti način se dokazuje sličnost trouglova OBC i OB₁C₁. Odatle sleduje:

    B₁C₁/BC=OB₁/OB=k  i ∢OBC=∢OB₁C₁ , prema tome BC∥B₁C₁      (2)

Isto tako se dokazuje sličnost ostalih trouglova: OCD i OC₁D₁, zatim OAD i OA₁D₁. Iz sličnosti △OCD i △OC₁D₁, sleduje:

C₁D₁/CD=OC₁/OC=k  i CD∥C₁D₁      (3)

Iz sličnosti △OAD i △OA1D1 imamo:

A₁D₁/AD=OD₁/OD=k  i AD∥A₁D₁      (4)

Iz jednakosti (1), (2), (3) i (4) zaključujemo:

A₁B₁/AB=B₁C₁/BC=C₁D₁/CD=A₁D₁/AD=k

Sem toga, ∢DAB=∢D₁A₁B₁ kao uglovi s paralelnim stranama (§ 79).

Iz istog razloga imamo jednakost uglova:

∢ABC = ∢A₁B₁C₁

∢BCD=∢B₁C₁D₁

∢CDA =∢C₁D₁A₁

Vidimo, dakle, da su u četvorouglovima ABCD i A₁B₁C₁D₁ uglovi jednaki a odgovarajuće strane proporcionalne; znači da su oni slični i da je odnos njihove sličnosti k.

175. Centar sličnosti. Kod sličnog pretvaranja mnogougla na način kako je izložen u § 174, tačka O se zove centar sličnosti oba mnogougla. 

Slično pretvaranje mnogougla može da se izvrši i na drugi način. Naime, uzme se tačka O i spoji sa svima temenima četvorougla ABCD, pa se prave OA, OB... produže iza tačke O, zatim se na pravu OA od tačke O u smislu suprotnom A prenese duž OA' jednaka k·OA. Isto tako se na produženja pravih OB, OC... od tačke O prenesu duži OB', OC'... jednake k·OB, k·OC,... (sl. 182); spajanjem tačaka A', B', C' i D' dobijamo četvorougao A'B'C'D', očevidno, simetričan sa A₁B₁C₁D₁ u odnosu na tačku O. Prema tome, četvorouglovi A'B'C'D' i A₁B₁C₁D₁ su podudarni, a četvorouglovi ABCD i A'B'C'D' su slični sa odnosom sličnosti k. U prvom slučaju pretvaranja tačka O se zove spoljašnji centar sličnosti mnogouglova (sl. 181); u drugom slučaju - unutrašnji centar njihove sličnosti (sl. 182).

Napomena. Pri pretvaranju može se podjednako koristiti kako unutrašnji tako i spoljašnji centar sličnosti. I jedan i drugi uzimaju se potpuno proizvoljno. U specijalnom slučaju, ako se za spoljašnji centar sličnosti uzme jedno mnogouglovo teme i izvrši slično pretvaranje, dobija se konstrukcija sličnog mnogougla pokazana u § 169.

176. Perspektivan položaj sličnih mnogouglova. Uzajamni položaj dva mnogougla ABCD i A₁B₁C₁D₁ na slici 181, a tako isto mnogouglova ABCD i A'B'C'D' na slici 182, ima sledeće osobine:

1. odgovarajuće strane oba mnogougla su paralelne;

2. prave koje spajaju odgovarajuća temena seku se u jednoj tački. 

Takav položaj dva mnogougla zove ce perspektivan.

Dokažimo da se ma koja dva slična mnogougla mogu dovesti u takav položaj.

Neka su data dva slična mnogougla ABCDE i A₁B₁C₁D₁E₁ (sl. 183). Uzmimo proizvoljnu tačku O za centar sličnosti i konstruišimo mnogougao sličan i perspektivan sa ABCDE, tako da odnos sličnosti bude A₁B₁/AB. Dobićemo mnogougao A'B'C'D'E' sličan ABCDE i podudaran sa A₁B₁C₁D₁E₁. Zaista, pošto je odnos sličnosti mnogouglova ABCDE i A'B'C'D'E' jednak A₁B₁/AB, onda je A'B'/AB=A₁B₁/AB, znači A'B'=A₁B₁. Iz sličnosti mnogouglova A₁B₁C₁D₁E₁ i A'B'C'D'E' sleduje:

A'B'/A₁B₁= B'C'/B₁C₁=C'D'/C₁D₁=D'E'/D₁E₁=A'E'/A₁E₁

Prema tome, iz jednakosti A'B'=A₁B₁ sleduje: B'C'=B₁C₁, C'D'=C₁D₁, D'E'=D₁E₁, A'E'=A₁E₁. Pošto su, sem toga, uglovi mnogougla A₁B₁C₁D₁E₁ jednaki uglovima mnogougla A'B'C'D'E', to su ovi mnogouglovi podudarni. Ako mnogougao A₁B₁C₁D₁E₁ položimo na A'B'C'D'E' tako da se poklope, onda će mnogougao A'B'C'D'E' zauzeti perspektivni položaj s ABCDE.