161. Teoreme. Ako su u dva trougla:
1) dva ugla jednoga jednaka sa dva ugla drugoga; ili
2) dve strane jednog trougla proporcionalne dvema stranama drugoga, a uglovi zahvaćeni tim stranama jednaki; ili
3) tri strane jednog trougla proporcionalne trima stranama drugoga, onda su takvi trouglovi slični.
1) Neka u trouglovima ABC i A1B1C1 (sl. 171) ∢A=∢A1, ∢B=∢B1 i prema tome ∢C =∢C1. Treba dokazati da su trouglovi slični.
Prenesimo na AB duž BD jednaku A1B1 i povucimo DE∥AC.
Tada ćemo dobiti pomoćni trougao DBE koji je, shodno gore navedenoj lemi, sličan trouglu ABC. S druge strane, △DBE=△A1B1C1, pošto su im: BD=A1B1 (po konstrukciji), ∢B=∢B1 (po uslovu) i ∢D=∢A1 (jep ∢D=∢A a ∢A=∢A1). Ali je očevidno, ako je od dva podudarna trougla jedan sličan trećem, onda će i drugi biti njemu sličan; znači,
△A1B1C1 ~ △ABC.
2) Neka je u trouglovima ABC i A1B1C1 (sl. 172) dato:
∢B=∢ B1 i AB/A1B1=BC/B1C1 (1)
Treba dokazati da su trouglovi slični.
Opet ćemo na stranu AB preneti duž BD jednaku A1B1 i povući DE∥AC. Tada će pomoćni △BDE biti sličan △ABC. Dokažimo sada da je on podudaran s △A1B1C1. Iz sličnosti trouglova ABC i DBE sleduje:
AB/DB=BC/BE (2)
Upoređujući ovu proporciju s proporcijom (1) vidimo da su prve razmere u njima jednake (DB=A1B1 po konstrukciji); a prema tome su im jednake i druge razmere, tj.
BC/B1C1=BC/BE
Znači, B1C1=BE.
Sada vidimo da trouglovi DBE i A1B1C1 imaji po dve strane i zahvaćene uglove (B i B1) jednake.
Trouglovi su podudarni. Ako je △DBE sličan △ABC, onda će i △A1B1C1 biti sličan △ABC.
3) Neka je u trouglovima ABC i A1B1C1 dato:
AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1 (1)
Dokazati da su trouglovi slični.
Izvršimo konstrukciju kao i u oba prethodna slučaja i pokažimo da je △DBE=△A1B1C1. Iz sličnosti trouglova ABC i DBE sleduje:
AB/DB=BC/BE=AC/DE (2)
Upoređujući proporciju (2) s datom proporcijom (1) vidimo da su im prve razmere jednake. Onda su im jednake i ostale razmere; stoga,
BC/B1C1=BC/BE odakle B1C1=BE
i
AC/A1C1=AC/DE odakle A1C1=DE.
Na taj način vidimo da su trouglovi DBE i A1B1C1 podudarni pošto imaju jednake strane. Ali, kako je jedan od njih, △DBE, sličan △ABC, onda će i drugi △A1B1C1 biti sličan △ABC.
162. Napomene o načinu dokazivanja. Nije na odmet obratiti pažnju da je način dokazivanja u sva tri slučaja isti, i to: prenosimo na stranu većeg trougla duž jednaku odgovarajućoj strani manjeg trougla i povlačimo pravu paralelnu drugoj strani. Na taj način se formira trougao sličan većem trouglu. Zatim se na osnovu uslova teoreme koja se dokazuje i osobina sličnih trouglova konstatuje podudarnost pomoćnog i manjeg trougla i, najzad, izvodi se zaključak o sličnosti datih trouglova.