156. Prethodni pojmovi. U praktičnom životu često nailazimo na slike koje imaju različite površine a isti oblik. Takve su, na primer, fotografije jednoga lica izrađene u raznim razmerama, ili planovi zgrada, ili čitavog grada, nacrtani u raznim razmerama. Takve se slike zovu slične.
Kad se zna kako se vrši merenje dužine duži, onda smo u mogućnosti da tačno odredimo pojam o geometriskoj sličnosti slika i damo metode za promenu veličine slika bez menjanja njihovog oblika. Ova promena se zove slično pretvaranje date slike. Izučavanje sličnosti slika otpočećemo na najprostijem slučaju, naime na sličnosti trouglova.
157. Odgovarajuće (homologne) strane. U ovom odeljku posmatraju se takvi trouglovi kod kojih su uglovi jednoga jednaki uglovima drugog trougla. Strane koje leže naspram jednakih uglova u tim trouglovima zovu se odgovarajuće ili homologne.
158. Definicija. Dva trougla zovu se slični ako su im:
1) uglovi jednaki i
2) strane jednoga proporcionalne sa odgovarajućim stranama drugog trougla.
Da takvi trouglovi postoje, pokazuje nam sledeća lema.
159. Lema1). Prava (DE, sl. 169) povučena paralelno kojoj bilo strani (AC) trougla (ABC) otseca od njega trougao (DBE) sličan datom. Neka je u trouglu ABC prava DE paralelna strani AC. Dokazati da su trouglovi DBE i ABC slični.
1) Lema je pomoćna teorema koja služi za dokazivanje naredne teoreme.
Treba, dakle, dokazati jednakost uglova i proporcionalnost odgovarajućih strana.
1) Uglovi su jednaki pošto je u trouglovima ugao B zajednički, a ∢D=∢A i ∢E=∢C kao saglasni uglovi.
2) Sada ćemo dokazati da su strane △DBE proporcionalne odgovarajućim stranama △ABC, tj. da je
BD/BA=BE/BC=DE/AC
Razmotrimo posebno dva slučaja:
1) Strane AB i DB imaju zajedničku meru.
Podelimo AB na delove koji su jednaki zajedničkoj meri. Tada će se i BD podeliti na ceo broj takvih delova. Neka se taj deo sadrži u BD' m puta, a u AB n puta.
Povucimo kroz deone tačke prave paralelne AC i prave paralelne BC. Tada će i BE i BC biti podeljene na jednake delove (§ 95), koji se sadrže m puta u BE i n puta u BC. Isto tako će se i DE podeliti na m jednakih delova, a AC na n jednakih delova, koji su među sobom jednaki (kao suprotne strane paralelograma). Sada je očevidno da
BD/AB=m/n; BE/BC=m/n i DE/AC=m/n
Prema tome,
BD/BA=BE/BC=DE/AC
2) Strane AB i BD nemaju zajedničke mere (sl. 170).
Naći ćemo približne vrednosti svake od razmera BD/BA i BE/BC, prvo s tačnošću do 1/10, zatim do 1/100, a posle ćemo stepen tačnosti povećavati svaki put 10 puta. Radi toga ćemo stranu AB prvo podeliti na 10 jednakih delova i kroz deone tačke povući prave paralelne AC. Tada će se i strana BC podeliti na 10 jednakih delova. Pretpostavimo da se 1/10 deo AB sadrži u BD m puta sa ostatkom koji je manji od 1/10 AB. Onda će se 1/10 od BC, kao što se vidi na slici 170, sadržavati u BE takođe m puta sa ostatkom koji je manji od 1/10 BC. Prema tome, s tačnošću do 1/10 imamo:
BD/BA=m/10 ; BE/BC=m/10
Zatim ćemo AB podeliti na 100 jednakih delova i neka se taj deo sadrži u BD m1, puta. Povlačenjem kroz deone tačke pravih paralelnih sa AC možemo da se uverimo da će se 1/100 BC sadržavati u BE takođe m1 puta. Stoga s tačnošću do 1/100 imamo :
BD/BA=m1/100 ; BE/BC=m1/100
Povećavajući dalje stepen tačnosti 10, 100,..... puta, videćemo da su približne vrednosti razmera BD/BA i BE/BC, izračunate s proizvoljnom ali istom desetnom tačnošću, jednake. A to znači da su tačne vrednosti tih razmera izražene istim beskrajnim desetnim razlomkom. Prema tome,
BD/BA=BE/BC
Isto tako ćemo, ako povučemo kroz deone tačke strane AB prave paralelne strani BC, konstatovati da
BD/BA=DE/AC
Na taj način i u ovom slučaju imamo:
BD/BA=BE/BC=DE/AC
160. Napomene.
1) Izvedeni odnosi predstavljaju tri sledeće proporcije:
BD/BA=BE/BC ; BD/BA=DE/AC ; BE/BC=DE/AC
Premeštanjem unutrašnjih članova dobijamo:
BD/BE=BA/BC ; BD/DE=BA/AC ; BE/DE=BC/AC
Prema tome, ako su u trouglovima strane proporcionalne, onda je razmera ma koje dve strane jednoga trougla jednaka razmeri odgovarajućih strana drugoga.
2) Sličnost slika obeležava se znakom ~.