186. Teorema. Simetrala ugla (BD, sl. 196) ma koga ugla u trouglu (ABC) deli suprotnu stranu na otsečke (AD i DO) proporcionalne obližnjim trouglovim stranama.
Treba dokazati da ako je ∢ABD=∢DBC, onda AD:DC=AB:BC.
Povucimo EC∥BD do preseka u tački E s produženjem strane AB. Tada ćemo, na osnovu teoreme §182, imati proporciju AD:DC=AB:BE, Da bi se dobila tražena proporcija, treba samo pokazati da je BE=BC, tj. da je △BCE ravnokraki. U tom trouglu ∢E=∢ABD (kao saglasni) i ∢BCE=∢DBC (kao naizmenični).
Ali ∢ABD=∢DBC: znači, ∢E=∢BSE, a stoga su jednake i suprotne strane. Sada, ako u gornjoj proporciji zamenimo BE sa BC, dobijamo traženu proporciju.
Primer. Neka AB=10; BC=7 i AC=6. Tada obeleživši AD sa x, možemo napisati:
x:(6-x)=10:7, odakle 7x=60-10x; 7x+10x=60; x=60/17=3·9/17
Prema tome, DC=6-x=6-3·9/17=2·8/17
187. Teorema (osobina simetrale spoljašnjeg ugla u trouglu). Simetrala (BD, sl. 197) spoljašnjeg ugla (CBF) trougla (ABC) deli produženje suprotne strane (AC) u takvoj tački (D) da su njena otstojanja (DA i DC) od krajnjih tačaka te strane proporcionalna obližnjim trouglovim stranama (AB i BC).
Ako je ∢CBD=∢FBD, onda je DA:DC=AB:BC.
Povlačenjem CE∥BD, dobijamo proporciju:
DA:DC=BA:BE.
Pošto je ∢BEC=∢FBD (kao saglasni), a ∢BCE=∢CBD (kao naizmenični) i ∢FBD=∢CBD po uslovu, onda i ∢BEC=∢BCE; znači △BCE je ravnokraki, tj. BE=BC. Zamenom u gornjoj proporciji BE sa BC dobijamo traženu proporciju.
Napomena. Specijalni slučaj pretstavlja simetrala ugla pri vrhu u ravnokrakom trouglu, koja je paralelna osnovici.