Sličnost slika proizvoljnog oblika

Neka je, na primer, u ravni data slika A potpuno proizvoljnog oblika (sl. 184).

Uzmimo proizvoljnu tačku O u ravni ove slike i počnimo da je spajamo s raznim tačkama M, N, P... slike A. Na svaku od povučenih pravih OM, ON, OP... prenesimo duži OM₁, ON₁, OP₁ tako da

OM₁/OM=ON₁/ON=OP₁/OP... itd.

Tačke M₁, N₁, P₁,... nalaziće se na nekoj novoj slici A₁. Ukoliko više uzmemo tačaka na slici A, utoliko ćemo ih više dobiti na slici A₁.

Da bi se dobila cela slika A₁, potrebno je iz tačke O povući prave u sve tačke slike A i na njima konstruisati odnosne tačke slike A₁. Na taj način dobijena slika A₁ zove se slična slici A.

U specijalnim slučajevima, da bi se dobila slika A₁, nema potrebe da se povlače prave u sve tačke slike A, već je dovoljno konstruisati nekoliko njenih tačaka, a zatim na osnovu osobina slike A može da se rekonstruiše cela slika A₁. U slučaju, na primer, da je slika A mnogougao, potpuno, je dovoljno da se tačka O spoji samo sa mnogouglovim temenima i konstruišu temena sličnog mnogougla, a zatim da se dobijena temena spoje dužima. Takav prelaz od slike A na sliku A₁ zove se slično pretvaranje slike A. Slično pretvaranje slika je jedan vrlo važan slučaj geometrijskih pretvaranja koja imaju veliku primenu u praksi. Slika koja se pokazuje na bioskopskom platnu je slična slici na pantljici: tehnički crteži planova fasada zgrada, planova terena, planova gradova itd. dobijaju se kao rezultat sličnog pretvaranja.

178. Sličnost kružnih linija. Pokažimo da slika slična kružnoj liniji jeste takođe kružna linija.

Teorema. Geometrijsko mesto tačaka koje dele po datoj razmeri otsečke pravih što spajaju ma koju tačku s tačkama kružne linije jeste kružna linija.

Neka je data kružna linija s centrom u tački O i poluprečnikom R (sl. 185). Uzmimo proizvoljnu tačku S i spojimo je s tačkom O. Sada delimo duž SO tačkom O₁ po nekoj razmeri, tako da SO₁/SO=k

Uzmimo na kružnoj liniji proizvoljnu tačku M i spojimo je s tačkom S. Na duži SM naći ćemo tačku M₁ tako da SM₁/SM=SO₁/SO=k, što ćemo postići ako iz O₁ povučemo pravu paralelnu OM do preseka s pravom SM. Iz sličnih trouglova SOM i SO₁M₁ sleduje: O₁M₁/OM=SO₁/SO.

Prema tome O₁M₁/OM=k. Odavde se nalazi dužina duži O₁M₁=k·OM=k·R.

Na taj način vidimo da je O₁M₁, stalna veličina koja ne zavisi od položaja tačke M. Prema tome, ako se tačka M kreće po kružnoj liniji, onda će se tačka M₁ premeštati u ravni tako da će opisivati kružnu liniju s centrom u O₁ i poluprečnikom k·R.

179. Teorema. Dve kružne linije u ravni mogu se uvek smatrati kao perspektivno-slične slike koje imaju dva centra sličnosti: jedan unutrašnji, drugi spoljašnji.

Neka su date dve kružne linije čiji su poluprečnici R₁ i R₂ a centri u tačkama O₁ i O₂ (sl. 186). Povucimo centralnu liniju i konstruišimo na njoj dve tačke I i E, tako da

O₁I/O₂I=R₁/R₂  i  O₁E/O₂E=R₁/R₂

Lako je pokazati da tačke I i E, imaju osobine centra sličnosti. Uzmimo na prvoj kružnoj liniji ma koju tačku M₁, povucimo pravu IM₁ i prenesimo na nju duž IM₂ tako da

IM₁:IM₂=R₁:R₂ ;   △IO₁M₁∞△IO₂M₂ , pošto je

∢O₁IM₁=∢O₂IM₂ ,  IM₁/IM₂=R₁/R₂  i  O₁I/O₂I=R₁/R₂

Stoga je O₁M₁/O₂M₂=R₁/R₂ , a pošto je O₁M₁=R₁, onda je OM₂=R₂.

Znači da tačka M₂ leži na drugoj kružnoj liniji. Na taj način vidimo da je tačka I unutrašnji centar sličnosti datih kružnih linija. Isto tako se može pokazati da je E spoljašnji centar sličnosti.

Konstrukcija tačaka I i E može da se izvrši ovako. U datim kružnim linijama povucimo ma koja dva paralelna poluprečnika. Prava koja spaja njihove krajnje tačke seče centralnu liniju u centru sličnosti. Pri ovome, ako su poluprečnici povučeni u istom smislu (sl. 186, O₁A₁ i O₂A₂), onda će centar biti spoljašnji; ako su povučeni u suprotnom smislu (sl. 186, O₁M₁ i O₂M₂), onda je centar unutrašnji. Lako je videti da će se jedan centar, ako se kružne linije dodiruju, poklapati s dodirnom tačkom. Ako se krugovi dodiruju spolja, onda se u dodirnoj tački nalazi unutrašnji centar sličnosti, ako se dodiruju iznutra, onda se dodirna tačka podudara sa spoljašnjim centrom sličnosti.

Vežbanja. 

1. Dokazati: ako se dve kružne linije nalaze jedna van druge, onda se njihov spoljašnji centar sličnosti poklapa s presečnom tačkom zajedničkih spoljašnjih tangenata, a unutrašnji - s presečnom tačkom zajedničkih unutrašnjih tangenata.

2. Kakav položaj moraju imati dve kružne linije u ravni da im ce spoljašnji i unutrašnji centri sličnosti poklapaju?

Odgovor: Moraju da budu koncentrične.

180. Pantograf. Slično pretvaranje slika može da se izvrši mehanički pomoću naročite sprave koju je pronašao 1603 g. Kristifor Šajner, a koja se zove pantograf.

Zamislimo jedan paralelogram ABCD (sl. 187), čije su strane metalne šipke koje se mogu pomoću šarnira obrtati oko temena. Utvrdimo teme A i uzmimo na produženju BC proizvoljnu tačku E i neka ova tačka opiše kakvu bilo liniju EE'. Neka je F presečna tačka pravih AE i CD a AB'C'D' - nov položaj našega paralelograma. Pošto se dužine paralelogramovih strana i dužine duži CE i CF pri premeštanju tačke E nisu promenile, to možemo da napišemo sledeće proporcije:

AD/CE=DF/FC=AF/FE (△ADF∞△ECF); AD'/C'E'=D'F'/F'C';

znači da je △AD'F'∞△E'C'F'; prema tome, ∢AF'D'=∢E'F'C', tj. tačke A, F' i E' leže na jednoj pravoj. Zatim iz sličnosti istih trouglova imamo:

AF'/F'E'=D'F'/F'C'

ali pošto D'F'/F'C'=DF/FC=AF/FE, znači AF'/F'E'=AF/FE.

Stoga su trouglovi AEE' i AFF' slični i

∢AFF'=∢AEE' i EE'∥FF'.

Iz slike nalazimo:

AF/FE=BC/CE  i  AF'/F'E'=B'C'/C'E'

Sastavimo izvedene proporcije:

(AF+FE)/AF=(BC+CE)/BC  i  (AF'+F'E')/AF'=(B'C'+C'E')/B'C'

ili

AE/AF=BE/BC  i  AE'/AF'=B'E'/B'C'

kako je BE=B'E' i BC=B'C', imaćemo:

AE/AF=AE'/AF'=BE/BC.

Ova jednakost pokazuje da kada tačka E opisuje neku liniju, onda tačka F opisuje sličnu liniju sa odnosom sličnosti koji je jednak BE/BC.

Ako se u tački E učvrsti jedna igla, a u F zaoštrena olovka, onda kada igla klizi po konturi date slike, olovka će opisivati na hartiji konturu slične slike.

Da bi se promenio odnos sličnosti, potrebno je da se tačka E pomeri na pravoj BC na jednu ili drugu stranu. Na ovoj osobini šarniranog paralelograma i zasniva se konstrukcija pantografa čiji je opšti izgled predstavljen na slici 188. Ova se sprava primenjuje za preštampavanje planova u raznim razmerama.

Za slično pretvaranje malih slika jednostavnog oblika može da posluži i šestar za deljenje (§ 166). Radi toga potrebno je da se pokretni šraf šestara namesti tako da bi podelio celu dužinu kraka po razmeri koja je jednaka odnosu sličnosti; zatim treba izabrati centar sličnosti i spojiti ga zracima s osnovnim tačkama slike. Na svakom zraku treba izmeriti jednim otvorom šestara duž od centra sličnosti do tačke slike i, pošto se šestar okrene, preneti na isti zrak od centra sličnosti duž jednaku drugom otvoru šestara.

Na taj način se mogu preneti sve osnovne tačke date slike i dobiti slična slika potrebne razmere.