Pravila za rešavanje geometrijskih konstrukcija

Najstariji opis ovih pravila se nalazi u euklidovoj knjizi Elementi, a pretpostavlja se da su ih postavili još Pitagorejci. U preživelim starogrčkim izvorima kao prvi matematematičar koji spominje ova pravila se navodi Oenopides iz Hiosa. Zanimljivosti radi, kao prvi matematičat koji je pomoću šestara i lenjira probao da reši problem kvadrature kruga spominje se Anaksagora (oko 450 godine pre naše ere).

Na početku svaka geometrijska konstrukcija je definisana sa:

• Pravilima koja treba poštovati (šta se od pribora sme koristiti i na kakav način)

• Zadatim početnim uslovima (zadate tačke, prave linije i kružnice)

• Zadatkom koji predstavlja geometrijsku figuru koju treba konstruisati

Prva stavka je uvek ista (lenjir i šestar), druge dve predstavljaju konstruktivni zadatak. Rešenje svakog konstruktivnog zadatka se sastoji od dodavanja 5 osnovnih konstrukcija:

• Konstruisanje prave linije kroz dve tačke

• Konstruisanje kružnice ako postoji tačka koja predstavlja centar i tačka na kružnici. 

• Konstruisanje presečne tačke između dve prave linije

• Konstruisanje presečne tačke (ili dve) između prave linije i kružnice

• Konstruisanje presečne tačke (ili dve) između dve kružnice

Na primer, pomoću dve tačke možemo konstruisati pravu, polupravu, duž ili dve kružnice (obe tačke mogu biti centar). Ako nacrtamo obe kružnice konstruisane su dve presečne tačke ovih kružnica. Crtanjem duži između dve zadate tačke i jedne od presečnih konstruiše se jednakostranični trougao.

Kod geometrijskih konstrukcija lenjir i šestar su idealizovane verzije pravih:

• Lenjir je beskonačno dug, nema podeoke i ima samo jednu ivicu. Može se koristiti samo za crtanje prave linije kroz dve tačke ili da se produži već nacrtana duž ili poluprava.

• Šestar može da nacrta kružnicu beskonačno velikog prečnika, nema nikakve podeoke i ne sme se koristit za prenos rastojanja. Može se koristiti samo za crtanje kružnica ili kružnh lukova pomoću dve zadate tačke: centra i tačke na kružnici.

• Konstruisane linije lenjirom i šestarom su beskonačno precizne i nemaju širinu.

Da bi ste stekli predstavu dokle ide strogost u pravilima navešću nekoliko primera: nije dozvoljeno šestarom uzeti rastojanje između dve tačke i preneti ga na pravu liniju, nije dozvoljeno lenjirom izmeriti rastojanje između dve tačke i preneti ga na pravu liniju... Drugim rečima šestar služi samo za opisivanje kružnice nekog prečnika, a lenjir samo za crtanje prave linije pomoću dve tačke.

Bitno je istaći da rešavanje konstruktivnog zadatka nije obično crtanje neke figure, već konstrukcija koja se sastoji od niza uzastopnih koraka. Svaki od ovih koraka je neka od osnovnih konstrukcija.

Da bi se konstruktivni zadatak smatrao rešenim mora se rešiti sa konačnim brojem koraka, jer sa beskonačnim brojem koraka moguće je rešiti bilo koji zadatak. Rešenje konstruktivnog zadatka mora da bude u potpunosti tačno, nisu dozvoljena približna rešenja.

Na temu pravila za rešavanje geometrijskih konstrukcija se može još dosta toga pisati, ali mislim da je to nepotrebno za ovakav veb sajt. Ostavimo to veb sajtovima koji su posvećeni matematici.

Rešavanje konstruktivnih zadataka se sastoji iz četiri etape:

1. Analiza - razmatranje mogućnosti kako da se dođe do rešenja,

2. Konstrukcija – realizacija konstruktivnog zadatka na osnovu analize,

3. Dokaz - dokazivanje da konstruisana figura ispunjava zadate uslove zadatka,

4. Diskusija – ispitivanje postojanja i broja rešenja u zavisnostu od datih uslova zadatka.

Zadatak se smatra rešenim, ako je određen način konstrukcije figure i ako je dokazano da se kao rezultat  dobija figura koja zadovoljava sve postavljene uslove.