Proračun zavrtanja

U mnogim slučajevima, pored uzdužnih naprezanja, u zavrtnju se javljaju dodatna naprezanja od savijanja, smicanja ili sl. Ako se zavrtanj uvrće pod opterećenjem (npr. radno vreteno dizalice), u njemu se javljaju i naprezanja od uvijanja.

Slika 183

1. Zavrtanj bez prednapona uvrće se neopterećen i nakon montaže ili uopšte nije napregnut ili je njegovo naprezanje neznatno, pa se to pri proračunu može zanemariti. U radu se zavrtanj optereti uzdužnom silom P, pa je usled toga izložen istezanju, sl. 183. Proračun se tada vrši na osnovu dozvoljenog naprezanja za istezanje

   $P={F}_{1}\cdot {\sigma }_{z}$

   ili

   $P=\frac{{{d}_{1}}^{2}\cdot \pi }{4}\cdot {\sigma }_{z}$

   izraz

   ${F}_{1}=\frac{{{d}_{1}}^{2}\cdot \pi }{4}$

   predstavlja površinu preseka jezgra zavrtnja, odnosno površinu oslabljenog preseka, koji je stoga i merodavan za proračun. Iz prethodne formule izračuna se površina F₁=P/σ_z, pa se tada potrebni prečnik zavrtnja odabere na osnovu tablice.

   Ali se zavrtnji za pričvršćivanje obeležavaju prema spoljašnjem prečniku, i stoga je potrebno prečnik »d₁« u formuli za proračun zavrtnja zameniti spoljašnjim prečnikom »d«. Pri tom se koristi okolnost da za standardne zavrtnje sa oštrim navojem postoji odnos

   ${{\left( {\frac{{d}_{1}}{d}} \right)}}^{2}=0,63$

   ili

   ${{d}_{1}}^{2}=0,63\cdot {d}^{2}$

   Na taj način jednačina za proračun zavrtnja prima oblik:

   $P=\frac{\pi }{4}\cdot 0,63\cdot {d}^{2}\cdot {\sigma }_{z}=0,5\cdot {d}^{2}\cdot {\sigma }_{z}$

   $d=\sqrt{\frac{P}{0,5\cdot {\sigma }_{z}}} \quad {\left[ {cm} \right]}$

   Vrednost dozvoljenog naprezanja treba tako odabrati da vršno naprezanje u delovima sa narezom ne prekorači granicu razvlačenja materijala. S obzirom na koncentraciju naprezanja (kod zavrtanja obične izrade prosječno β_k=2) i na mogućnost oštećenja površine pri izradi navoja, dozvoljeno naprezanje u slučaju mirnog opterećenja (slučaj I) može da iznosi 0,4σ_s, što za zavrtnje jačine 38kp/mm² sačinjava

   ${\sigma }_{dozv}=0,4\cdot 2100=840 \ kp/{cm}^{2}$

   Međutim, zavrtnji većinom vežu delove izložene promenljivim silama, i tada za običan čelični materijal u slučaju jednosmerno promenljivog opterećenja treba računati sa 0,25σ_s, tako da dozvoljeno naprezanje iznosi tada

   ${\sigma }_{dozv}=0,25\cdot 2100=525 \ kp/{cm}^{2}$

   Kod kvalitetnih čelika sa visokom granicom razvlačenja proračun se vrši prema dozvoljenom σ_dozv=0,3σ_s. Zavrtnji vrlo malih naprezanju prečnika mogu biti lako prenapregnuti već pri montaži, i stoga njihov proračun treba vršiti prema dozvoljenim naprezanjima, koja su za oko 20% manja nego što je to gore navedeno.

2. Zavrtnji koji se uvrću pod opterećenjem (npr. stezaljka, sl. 171), izloženi su uzdužnoj sili

   $P={F}_{1}\cdot {\sigma }_{z}$

   i momentu uvijanja koji savlađuje pri radu otpor trenja u navojima:

   ${M}_{t}=P\ {r}_{m}\ \tan {\left( {\gamma +\rho } \right)}={W}_{0}\ {\tau }_{t}$

   ${W}_{0}=0,2\ {{d}_{1}}^{3}$ - otporni momenat preseka zavrtnja u jezgru;

   ${r}_{m}={\left( {d+{d}_{1}} \right)}/2$ - srednji prečnik navoja;

   γ - ugao zavojnice.

   Naprezanje zavrtnja usled istezanja:

   ${\sigma }_{z}=\frac{P}{{F}_{1}}=\frac{4\ P}{\pi \ {{d}_{1}}^{2}}$

   Naprezanje zavrtnja usljed torzije:

   ${\tau }_{t}=\frac{{M}_{t}}{{W}_{0}}=\frac{P\ {r}_{m}\ \tan {\left( {\gamma +\rho } \right)}}{0,2\ {{d}_{1}}^{3}}$

   Uporedno naprezanje treba da je manje od

   ${\sigma }_{v}=\sqrt{{{\sigma }_{z}}^{2}+{\left( {\alpha \ \tau } \right)}^{2}}\le {\sigma }_{dozv}$

   Za standardne zavrtnje za pričvršćivanje, pri odnosu uporednih naprezanja za čelik α≈1,33, izlazi:

   ${\sigma }_{v}=\frac{{\sigma }_{z}}{0,75}$;   ${\sigma }_{z}=0,75\ {\sigma }_{v}=0,75\ {\sigma }_{dozv}$

   Stoga se proračun zavrtanja ove vrste može vršiti samo na osnovu uzdužne sile P s tim da se za dozvoljeno naprezanje usvoji 0,75 od vrednosti merodavne za proračun zavrtanja izloženih samo uzdužnoj sili. Tada npr. za zavrtanj od Č.0545 izložen jednosmerno promenljivom opterećenju izlazi:

   ${\sigma }_{dozv}=0,75\cdot 0,25\ {\sigma }_{s}$

   ${\sigma }_{dozv}=0,75\cdot 0,25\ \cdot 3100=600kp/{cm}^{2}$

   Pokretni zavrtnji ručne dizalice, vretena presa i sl. dobijaju trapezni ili obli navoj. Za njih se ne može usvojiti ranije navedeni odnos između spoljašnjeg i unutrašnjeg prečnika. Prečnik jezgra zavrtnja ovdje se dobije, prema uprošćenom postupku, na osnovu dozvoljenog naprezanja za pritisak:

   $P=\frac{{{d}_{1}}^{2}\ \pi }{4}\cdot {\sigma }_{d}$;   

   ${d}_{1}= \sqrt{\frac{4\ P}{\pi \ {\sigma }_{d}}}\quad {\left[ {cm} \right]}$

   Kad se, na osnovu standarda, usvoji spoljašnji prečnik navoja i ostali elementi potrebni za proračun (γ, ρ), proverava se uporedno naprezanje koje treba da je ispod dozvoljenog naprezanja za pritisak.

3. Prethodno napregnuti zavrtnji izloženi statičkom opterećenju. Takvi zavrtnji, osim prednapona, često su opterećeni još i silama u radu. Npr. prethodno zategnuti zavrtnji za spajanje oboda cijevi izloženi su, usled natpritiska u cevovodu, još i uzdužnoj sili P koja ih statički opterećuje. Zavrtnji kod ovakve veze izloženi su istezanju a obodi cevi pritisku. Odnos između sila i deformacija kod takve naponske veze lako se može predstaviti u deformacionom dijagramu.

   Ako se posmatra prvo samo prednapon (istezanje), tada će se zavrtanj za iznos λ_z izdužiti, a obodi za iznos λ_d skupiti. Veličina prednapona koja uslovljava ove promene mora biti, prirodno, u oba dela ista. Usled sile u radu P (sila po jednom zavrtnju) izduženje zavrtnja će se za iznos λ povećati a skupljanje oboda će se za isti iznos smanjiti. Kad se sila u radu P unese u dijagram, vidi se da je P_max sila u zavrtnju, a P_d sila u obodima. Ova posljednja je potrebna da veza ne bi olabavila i da bi dodirne površine oboda bile zaptivene.

   Iz upoređenja sl. »a« i sl. »b« izlazi da se u drugom slučaju, uz istu vrednost prednapona i istu silu u radu, u zavrtnju javlja znatno veća sila P_max. Ova je vrednost utoliko veća ukoliko je izduženje zavrtnja manje a skupljanje oboda veće. Znači da treba težiti primeni što elastičnijih zavrtanja pri što većoj krutosti oboda. Prirast sile P_z usled radnog opterećenja može se izračunati na osnovu sličnosti trouglova u deformacionom dijagramu, kao što je to naznačeno na sl. 184. Time bi bila određena i ukupna vrednost sile P_max kojoj je zavrtanj izložen pri radu. Ali je određivanje vrednosti prednapona i porasta sile usled opterećenja teško i nesigurno. Izračunavanje deformacija vrši se na osnovu krutosti elemenata veze:

   $c=\frac{P}{\lambda }=\tan \phi \quad {\left[ {kp/mm} \right]}$;   $\lambda =\frac{P}{c}$

   tj. elastična deformacija je recipročna vrednost krutosti.

   Krutost se meri silom usled koje se delovi izdužuju (ili skupljaju) za 1 mm. U deformacionom dijagramu krutost je, prema tome, predstavljena tangensom nagibnog ugla za elemenat izložen deformaciji. Kako se deformacija dela dužine l računa prema

   $\lambda =l\cdot \frac{\sigma }{E}$;   $\sigma =\frac{P}{F}$;   $\lambda =\frac{l}{E\ F}\cdot P$

   to je i krutost data formulom

   $c=\frac{E\ F}{l}$

   Tada je

    $\lambda =\frac{P}{c}$

   Kao dužina dela izloženog deformaciji uzima se rastojanje napadnih tačaka sile. Kod zavrtanja na sl. 184 to je, prema tome, rastojanje između glave zavrtnja i površine naleganja navrtke. Pri određivanju krutosti oboda treba imati u vidu da se opterećenje u pritegnutim delovima rasprostire u vidu »konusa pritiska«. Konus pritiska se nadomešta ekvivalentnim cilindrom prečnika a≈2d (tačnije a=1,78d) koji, dakle, i treba da primi deformacije sabijanja.

Primer. Cevovod prečnika D=500mm sprovodi paru natpritiska p=12at. Za vezu cevi služe 16 zavrtanja M24 kvaliteta ČV 60 sa σ_s=42kp/mm² i f1=3,24cm². Proveriti zaptivenost oboda u sastavku i izdržljivost zavrtanja pod radnim opterećenjem, ako prednaponska sila u elementima ove veze iznosi P0=1,5P.

Slika 184

1. Ukupna sila koju moraju primiti zavrtnji pri radu, odredi se uz pretpostavku da se pritisak fluida u cevi rasprostire do sredine zaptivnog prstena, tj. do prečnika D_m=540mm:

   ${\left( {\frac{{{D}_{m}}^{2}\ \pi }{4}} \right)}\cdot p={54}^{2}\cdot 12\cdot \frac{\pi }{4}=27470\ kp$

   Opterećenje po jednom zavrtnju tada iznosi

   $P=\frac{27470}{16}=1717\ kp$

   Veličina prednapona u zavrtnju ili montažna sila:

   ${P}_{0}=1,5\ P=1,5\cdot 1717=2575\ kp$

    

2. Izduženje zavrtnja usled prednapona pri naprezanju

   ${\sigma }_{z}=\frac{{P}_{0}}{{f}_{1}}=\frac{2575}{3,24}=800\ kp/{cm}^{2}$

   ${\lambda  }_{z}=l\ \frac{{\sigma }_{z}}{E}=\frac{7800}{2100000}=0,0022\ cm=0,22\ mm$

   Sabijanje oboda 

   ${\left( {a=2\ d=48\ mm} \right)}$

   pri

   ${\sigma }_{d}=\frac{P}{F}$

   $F={\left( {{4,8}^{2}-{2,7}^{2}} \right)}\cdot \frac{\pi }{4}=15,75\ {cm}^{2}$

   ${\sigma }_{d}=\frac{2575}{15,75}=160\ kp/{cm}^{2}$

   ${\lambda }_{d}=l\cdot \frac{{\sigma }_{d}}{E}=\frac{7\cdot 160}{1000000}=0,0011\ cm=0,011\ mm$

3. Odnos elastičnih deformacija i prirast sile usled opterećenja:

   $\frac{{\lambda }_{d}}{{\lambda }_{z}}=\frac{0,011}{0,022}=0,5$

   ${P}_{z}=P\cdot \frac{e}{e+1}=1717\cdot \frac{0,5}{1,5}=572\ kp$

4. Sila u zavrtnju i sila u obodima te uslovi za zaptivenost i sigurnost protiv plastičnih deformacija:

   ${P}_{max}={P}_{0}+{P}_{z}=2575+572=3147\ kp$

   Sila u zavrtnju se, dakle, povećava ne za puni iznos sile u radu već samo za P₂=572kp, tj. za 30%.

   Zavrtanj je napregnut u radu sa

   ${\sigma }_{z}=\frac{{P}_{max}}{{F}_{1}}=\frac{3147}{3,24}=970\ kp/{cm}^{2}$

   Stoga stepen sigurnosti protiv plastičnih deformacija iznosi

   ${S}_{F}=\frac{{\sigma }_{s}}{{\sigma }_{z}}=\frac{42}{9,7}=4,3$

   Sila u obodima:

   ${P}_{d}={P}_{max}-P=3147-1717=1430\ kp$

   što je sasvim dovoljno za održavanje zaptivenosti sastavka.

   Može se računati da prirast sile u radu iznosi, u zavisnosti od krutosti delova veze, (0,2÷0,5)P. Prema ovom podatku, može se odrediti približna vrednost maksimalne sile u zavrtnju i tako izvršiti uprošćeni proračun zavrtanja.

Slika 185

4. Zavrtnji izloženi dinamičkim silama. Kod dinamičkih opterećenja sila u radu se menja u određenim granicama - većinom od 0 do P i obratno, kao npr. u cilindrima klipnih motora i u vezama motornih poluga klipnih mašina. U takvom slučaju su zavrtnji za vezivanje poklopca za cilindar motora izloženi, pored prednapona, i promenljivoj sili u radu. Usled prednapona zavrtanj će se izdužiti za λ_z a obodi skupiti za λ_d sl. 185. Kad se u deformacioni dijagram unese sila u radu P (sila po jednom zavrtnju), izlazi da će opterećenje prethodno napregnutog zavrtnja narasti, kao i pri statičkom opterećenju do vrijednosti P_max. Kod opadanja sile u radu, opterećenje zavrtnja se smanjuje do vrednosti prednapona P₀.

   Dijagram prednapona pokazuje da se, pri promeni pogonske sile od nule do P, zavrtnji prethodno napregnute veze naknadno opterećuju ne za puni iznos P, nego samo za veličinu P_z. Vrši se, dakle, podela radnog opterećenja između elemenata veze, tj. podela opterećenja, s obzirom na odnos deformacija, na silu u zavrtnju i silu u podlozi (ili u obodima).

   Ako bi veza bila bez prednapona, naknadno opterećenje zavrtnja iznosilo bi koliko i sila u radu, tj. P_z=P, sl. 185 desno. Takva veza ne bi se ni praktično mogla primeniti. Zbog odsustva pritiska između oboda, cilindar klipnog motora ne bi bio zaptiven, a kod glave motorne poluge dobila bi se labava veza.

   Prirast sile u zavrtnju usled radnog opterećenja, stoga, je utoliko manji ukoliko je prednaponska sila veća. Prednost velikih prednapona dolazi do izražaja samo kod elastičnih zavrtanja na krutoj podlozi. Obično se računa sa

   P₀=1,5P - kod cilindara klipnih motora

   P₀=(4÷4,5)P - kod dvodelnih glava motornih

   Izlazi da, kod promenljivih opterećenja, dodatna sila u zavrtnju ima oscilatoran tok sa amplitudom naprezanja σ_a=P_z/2f. Ovo amplitudno naprezanje treba da leži ispod granice zamora, da ne bi pod opterećenjem nastupio dinamički prekid zavrtnja. Granica zamora kod zavrtanja meri se na pulzatorima pri određenom prednaponu i daje se u vidu σ_m±σ_A. Odnos između računski određene amplitude i granice zamora σ_A daje stepen sigurnosti protiv prekida dinamički opterećenog zavrtnja:

   ${S}_{D}=\frac{{\sigma }_{A}}{{\sigma }_{a}}$;  ${S}_{D}=1,3\div 3$

   Treba imati u vidu da se vrednosti σ_A odnose na spoj kao celinu, a ne na pojedine elemente veze kao što su zavrtanj, navrtka i spojeni delovi. To je stoga što dinamička izdržljivost zavrtanja u velikoj meri zavisi od konstruktivnih odnosa pomoću kojih se veza ostvaruje, a što se može razabrati iz donjeg pregleda.

    

Zavrtnji za spajanje delova glave motornih poluga izrađuju se od prvorazrednih čelika čvrstoće 80÷120 kp/mm². S obzirom na vrlo odgovornu ulogu ovakvih spojeva, dinamička izdržljivost ovih zavrtanja je svestrano ispitana i utvrđena za različite prečnike. Ovde se navodi dinamička izdržljivost zavrtanja od čelika čvrstoće 80÷90 kp/mm²:

Primer. Delovi glave motorne poluge, opterećene naizmeničnim silama od 3000kp, vezani su sa dva elastična zavrtnja kvaliteta ČV100 sa σ_s=90kp/mm². Zavrtnji su oplemenjeni, a navoj im je naknadno valjan. Proračunati zavrtnje i proveriti dinamički stepen sigurnosti i stepen sigurnosti protiv plastičnih deformacija. Raspon pritegnutih površina iznosi 106mm.

1. Elastični zavrtnji imaju stanjeno stablo i naročito konstruisana prelazna zaobljenja, sl. 185. Najmanji prečnik elastičnog zavrtnja odredi se na osnovu dozvoljenog naprezanja i usvojene vrednosti prednapona. Sila po jednom zavrtnju iznosi P=1500kp. Prednaponska sila, kod veza ove vrste, može se izabrati u granicama:

   ${P}_{0}={\left( {4\div 4,5} \right)}\ P$;   ${P}_{0}=4\cdot 1500=6000\ kp$

   Dozvoljeno naprezanje za istezanje:

   ${\sigma }_{z}=0,6\cdot {\sigma }_{s}=0,6\cdot 90=54\ kp/{mm}^{2}$

   ${f}_{1}=\frac{{P}_{0}}{{\sigma }_{z}}=\frac{6000}{54}=111\ {mm}^{2}$

   ${d}_{1}=\sqrt{\frac{4\ {f}_{1}}{\pi }}=\sqrt{\frac{4\cdot 111}{\pi }}=12\ mm$

   Za najmanji prečnik stabla usvaja se vrednost d₁=12mm sa površinom preseka f₁=113,1mm². Zatim se utvrđuje osnovni oblik elastičnog podešenog zavrtnja. Dovoljno dimenzionisana prelazna zaobljenja zahtevaju povećanje prečnika podešenog dela stabla do d₂=17mm, a prečnika navoja do M16. Prema ukupnoj dužini stegnutih delova određuju se parcijalne dužine merodavne za delove stabla različitih krutosti.

2. Na osnovu usvojenih dužina, računa se krutost zavrtnja i krutost podloge. Cilindar, ekvivalentan konusu opterećenja ima dužinu 106mm, spoljašnji mu je prečnik 28mm, a unutrašnji 17mm. Prema krutosti delova, izračuna se izduženje zavrtnja i sabijanje podloge usljed prednapona.

3. Prirast sile u zavrtnju usled radnog opterećenja dobije se na osnovu odnosa elastičnih deformacija.

4. Određuje se amplitudno naprezanje u najslabijem preseku zavrtnja i proverava se stepen sigurnosti protiv zamora. Granica zamora kod visokonapregnutih zavrtanja ove vrste iznosi σ_A=5kp/mm².

5. Najveća sila u zavrtnju i sila u podlozi za vreme rada date su deformacionim dijagramom. Prema najvećoj sili u zavrtnju proveri se stepen sigurnosti protiv plastičnih deformacija.

    

Slika 186

Zavrtnji izloženi smicanju, ili podešeni zavrtnji, sl. 186, proračunavaju se u slučaju dvosečne veze prema jednačini:

$P=2\ {F}_{0}\ {\tau }_{a}$;  

${F}_{0}=\frac{P}{2\ {\tau }_{a}}\quad {\left[ {{cm}^{2}} \right]}$ - predstavlja površinu preseka smicanja.

Ako je veza postignuta sa »n« zavrtanja, proračun se vrši prema jednačinama:

$P=2\ {F}_{0}\ n\ {\tau }_{a}$

${F}_{0}=\frac{P}{2\ n\ {\tau }_{a}}\quad {\left[ {{cm}^{2}} \right]}$

τ_dozv=0,4σ_s pri mirnom opterećenju; 

0,3σ_s pri jednosmisleno promenljivom opterećenju; 

0,16σ_s pri naizmjenično promenljivom opterećenju.

Prema usvojenom dozvoljenom naprezanju izračuna se vrednost »F₀«, a zatim i prečnik »d₀«

${F}_{0}=\frac{{{d}_{0}}^{2}\cdot \pi}{4}$;

${d}_{0}=\sqrt{\frac{4\cdot {F}_{0}}{\pi }}\quad{\left[ {cm} \right]}$

Na osnovu ove vrednosti uzme se iz tablice normalnih zavrtanja prva manja vrednost prečnika »d«, da bi se na taj način navoj podešenog zavrtnja osigurao od oštećenja prilikom montiranja.

Kod podešenih zavrtanja treba, osim toga, proveriti da li se vrednost površinskog pritiska između konstruktivnog dela i stabla zavrtnja nalazi u dozvoljenim granicama:

$p=\frac{P}{{d}_{0}\cdot \delta }\quad {\left[ {kp/{cm}^{2}} \right]}$

ovde d₀·δ predstavlja projekciju površine nalieganja.

Treba imati u vidu da je za proračun merodavna najmanja ukupna debljina na koju sila deluje u istom pravcu, to je prema tome ili 2δ₁ ili δ na sl. 186.