Projektivna koncepcija paralelizma

Ako pogledamo sliku ispod možemo videti da je data prava (a) i tačka (S) na nekoj udaljenjosti od nje. Ako provučemo iz tačke S pravu k upravno na pravu a dobićemo presečnu tačku A. Okrećemo li sad pravu k oko tačke S, presečne tačke između prava a i k kretaće se po pravoj a, udaljavajući se sve više od tačke A (i od tačke S). Najudaljenija presečna tačka pravih a i k dobiće se kada prava k postane paralelna sa pravom a, t.j. pređe četvrtinu kruga, jer – daljim okretanjem prave k vidimo da se njena presečna tačka sa pravom a pojavljuje na suprotnom kraju prave a (i suprotnom kraju prave k), da bi se, kada prava k opiše i drugu četvrtinu kruga vratila u polaznu tačku A. Iz ovoga proizilazi da je najudaljenija tačka pravih a i k njihova zajednička tačka, tako da možemo kazati da se paralelne prave seku u zajedničkoj beskonačno dalekoj tački.  Pošto su dva kraja prave sastavljeni u njenoj najudaljenijoj tački, možemo takođe zaključiti da je prava beskrajna, ali zatvorena linija.

Projektivna koncepcija paralelizma pravih

Ako smo u prethodnom odeljku zaključili da prava ima jednu beskonačno daleku tačku, onda po istoj logici možemo zaključiti da ravan ima jednu bekonačno daleku pravu. Drugim rečima kao što se dve paralelne prave seku u beskonačno dalekoj zajedničkoj tački, tako se i dve paralelne ravni seku po svojoj zajedničkoj beskonačno dalekoj pravoj.

U klasičnoj Euklidovoj geometriji koja se uči u srednjim školama, prava je otvorena linija a paralelne prave se ne seku jer im se tačke uporedo nižu na uvek istom rastojanju. Sa euklidskim shvatanjem paralelnosti pravih gubi se smisao pri prelasku pravih koje se seku u prave koje su paralelne (pri prelazu centralnog projiciranja u paralelno). Iz ovog razloga u nacrtnoj geometriji se koristi euklidska geometrija dopunjena beskonačnom dalekom tačkom i beskonačno dalekom pravom.

Ova strana je u velikoj meri preuzeta iz knjige Nacrtna geometrija profesora Lazara Dovnikovića.