Definicije geometrijskih konstrukcija

Deo geometrije koji se bavi proučavanjem geometrijskih konstrukcija se naziva konstruktivna geometrija.

Stručnije rečeno, geometrijske konstrukcije su načini rešavanja planimetrijskih problema (geometrijskuh problema u ravni) konstruktivnim metodama uz poštovanje niza pravila. 

Proces crtanja tražene figure, pravilnije rečeno konstrukcija tražene figure se sastoji od uzastopnih primena više osnovnih i elementarnih geometrijskih konstrukcija.

Pod konstruktivnim zadatkom smatramo svaku konstrukciju geometrijske figure pod uslovom da su se poštovali unapred zadati uslovi i da je korišćen samo dopušteni pribor (lenjir i šestar). Rešenje konstruktivnog zadatka je svaka konstruisana geometrijska figura koja zadovoljava postavljene uslove u tom konstruktivnom zadatku.

Sa stanovišta broja rešanja, konstruktivni zadaci mogu biti:

• Nemogući - ne postoji figura koja zadovoljava početne uslove,

• Određeni – postoji konačan broj rešenja (jedno ili više njih),

• Neodređeni – postoji beskonačno mnogo rešenja,

• Predodređeni – Postoji rešenje, ali je zadato više uslova nego što je potrebno tako da ni jedno rešenje ne zadovoljama baš sve uslove.

Klasični problemi

Postoje konstruktivni problemi koje nije moguće rešiti samo šestarom i lenjirom bez podeoka. Ovakva vrsta problema se zovu klasični problemi. Klasični problemi datiraju još o antičkih vremena, a među njima tri najpoznatija su:

• Kvadratura kruga – Dat je krug, potrebno je konstruisati kvadrat iste površine.

• Trisekcija ugla – Dat je ugao, potrebno ga je podeliti na tri jednaka ugla, t.j. Potrebno je konstruisati ugao koj iiznosi 1/3 datog ugla,

• Udvajanje kocke - Data je dužina stranice kocke, potrebno je odrediti dužinu stranice kocke koja če imati dvostruko veću zapreminu od zadate.

U devetnaestom veku pomoću analitičke geometrije dokazano je da klasične probleme nije moguće rešiti euklidskim geometrijskim konstrukcija t.j. koristeći samo šestar i lenjir bez podeoka.

Elementarne konstrukcije

Prilikom rešavanja konstruktivnih zadataka nećemo rešenje uvek svoditi na osnovne konstrukcije, već ćemo koristiti i elementarne konstrukcije koje su izvedene iz njih.

Elementarne konstrukcije su najjednostavnije konstrukcije dobijene pomoću osnovnih. Crtanje složenih konstrukcija se često sastoji od crtanja jedne ili više elementarnih.

U elementarne konstrukcije spadaju konstrukcije:

• simetrale duži
• simetrale ugla
• paralelne prave (Paralelna duž koja prolazi kroz zadatu tačku, Paralelna duž na zadatom rastojanju)
• normale (Normala na pravu iz date tačke, Normala na datu tačku prave, Normala na krajnju tačku duži)
• duži podudarne datoj duži
• ugla podudarnog datom uglu
• središta duži
• tangente datog kruga iz date tačke
• tangente kružnice u tački
• tangente na kružnicu iz date tačke
• kružnicu kroz date 3 tačke
• pronalaženje centra kružnice
• simetrale kružmog luka
• kružnice upusane u trougao
• kružnice opisane oko trougla
• trougla ako su date njegove stranice
• uglova od 90°, 45°, 60°, 30°...
• pravilnih mnogouglova
• ...