VEŽBANJA
Naći geometriska mesta:
Podnožja normala spuštenih iz date tačke A na prave koje prolaze kroz drugu datu tačku B.
Sredina tetiva povučenih u krugu kroz jednu datu tačku.
Dokazati teoreme:
Ako se dve kružne linije dodiruju, onda svaka sečica, povučena kroz dodirnu tačku, gradi na kružnim linijama dva suprotna luka jednake veličine.
Odsečci dve jednake tetive koje se seku jednaki su.
Dve se kružne linije seku u tačkama A i B; kroz A je povučena sečica koja seče kružne linije u C i D; dokazati da je ugao CBD stalna veličina za svaku sečicu koja prolazi kroz A.
Uputstvo. Uglovi ACB i ADB imaju stalnu veličinu.
Ako se kroz dodirnu tačku dveju kružnih linija povuku sečice, onda su tetive koje spajaju njihove krajnje tačke paralelne.
Ako se kroz dodirnu tačku dveju kružnih linija povuče u njihovoj unutrašnjosti sečica, onda su tangente povučene u krajnjim tačkama sečice paralelne.
Podnožja visina u jednom trouglu čine trougao u kome su visine datog trougla simetrale uglova.
Na kružnoj liniji opisanoj oko ravnostranog trougla ABC uzeta je proizvoljna tačka M; dokazati da je najveća od duži MA, MB i MC jednaka zbiru dveju drugih.
Iz tačke P povučene su na kružnu liniju dve tangente PA i PV a kroz tačku B prečnik BC. Dokazati da su prave CA i OP paralelne (O - centar kružne linije).
Kroz presečnu tačku dveju kružnih linija povučen je u svakoj od njih prečnik. Dokazati da prava što spaja krajnje tačke prečnika prolazi kroz drugu presečnu tačku.
Prečnik AB i tetiva AC grade ugao od 30°. Kroz tačku C povučena je tangenta koja seče produženje AB u tački D. Dokazati da je △ACD ravnokraki.
Ako se oko trougla opiše kružna linija i iz njene proizvoljne tačke spuste normale na trouglove strane, onda njihova podnožja leže na pravoj liniji (Simpsonova prava).
Uputstvo. Dokazuje se na osnovu osobina periferiskih uglova (§ 124) i uglova tetivnog četvorougla (§ 139).
Konstruktivni zadaci
Na datoj pravoj odrediti tačku, tako da se iz nje data duž vidi pod datim uglom.
Konstruisati trougao kad je data osnovica, ugao pri vrhu i visina
Luku datog isečka povući tangentu, tako da njen deo između produženih poluprečnika isečka bude jednak datoj duži (svesti ovaj zadatak na prethodni).
Konstruisati △ kad je data osnovica, ugao pri vrhu i srednja linija koja je povučena prema osnovici.
Date su po veličini i po položaju dve duži a i b. Odrediti tačku iz koje se duž „a“ vidi pod uglom α, a duž „b“ pod uglom β.
U trouglu odrediti tačku iz koje se sve strane vide pod istim uglom.
Uputstvo. Obratiti pažnju da svaki od tih uglova iznosi ⁴/₃ d.
Konstruisati trougao kad je poznat ugao pri vrhu, visina i srednja linija povučene prema osnovici.
Uputstvo. Produžiti srednju liniju za njenu dužinu i spojiti dobijenu tačku s krajnjim tačkama osnovice; razmotriti dobijeni paralelogram.
Konstruisati trougao kad je dato: osnovica, nalegli ugao i ugao između srednje linije povučene iz temena datog ugla i suprotne strane.
Konstruisati paralelogram kad su poznate dijagonale i jedan ugao.
Konstruisati trougao kad je data osnovica, ugao pri vrhu i zbir ili razlika dve druge strane.
Konstruisati četvorougao kad su date dijagonale, dve susedne strane i ugao između drugih dveju strana.
Date su tri tačke A, B i C. Kroz tačku A povući pravu, tako da bi otstojanje između normala spuštenih na ovu pravu iz tačaka B iC bilo jednako datoj duži.
U dati krug upisati trougao sa dva data ugla.
Oko kruga opisati trougao sa dva data ugla.
Konstruisati trougao kad je poznat poluprečnik opisanog kruga, ugao pri vrhu i visina.
Upisati u krug trougao u koga su poznati: zbir dveju strana i ugao naspram jedne od njih.
U dati krug upisati četvorougao kad je data jedna strana i dva nenalegla ugla.
U dati romb upisati krug.
U ravnostrani trougao upisati tri kruga koji se dodiruju po dva, a svaki dodiruje dve trouglove strane.
Konstruisati tetivni četvorougao ako su poznate tri strane i jedna dijagonala.
Konstruisati romb kad je data strana i poluprečnik upisanog kruga.
Oko datog kruga opisati ravnokraki pravougli trougao.
Konstruisati ravnokraki trougao kad je data osnovica i poluprečnik upisanog kruga.
Konstruisati trougao kad je poznata osnovica i dve srednje linije, povučene iz njenih krajnjih tačaka.
Uputstvo, vidi § 143.
To isto kad su date sve tri srednje linije.
Uputstvo, vidi § 143. 39.
Na datoj kružnoj liniji date su tri tačke A, B iC. U ovu kružnu liniju upisati trougao, tako da bi produžena simetrala uglova prolazila kroz tačke A, B i C.
Isti zadatak za visine u trouglu.
Data je kružna linija i na njoj tri tačke M, N i P u kojima seku kružnu liniju visina, simetrala ugla i srednja linija, koje polaze iz istog temena u trouglu. Konstruisati trougao.
Na kružnoj liniji date su dve tačke A i B. Iz ovih tačaka povući dve paralelne tetive čiji je zbir data duž.
Računski zadaci
Izračunati periferijski ugao čiji je luk kružne 1/12linije.
Krug je podeljen na dva odsečka tetivom koja deli kružnu liniju u razmeri 5:7. Izračunati periferijske uglove koji se nalaze u tim odsečcima.
Dve tetive grade ugao od 36° 15' 32". Izračunati lukove zahvaćene tetivama, ako se oni odnose kao 3:2.
Ugao između tangenata povučenih iz jedne tačke na kružnu liniju ima 20° 15'. Izračunati veličine lukova između dodirnih tačaka.
Izračunati ugao između tangente i tetive, ako tetiva deli kružnu liniju u razmeri 3:7.
Dve jednake kružne linije seku se pod uglom od 2/3d izračunati u stepenima luk (manji) između presečnih tačaka.
Napomena. Ugao između dva luka je ugao koga grade tangente u presečnoj tački.
Iz jedne krajnje tačke prečnika povučena je tangenta, a iz druge sečica, koja seče tangentu pod uglom od 20° 30'. Naći luk (manji) između tangente i sečice.