Tetivni i tangentni mnogouglovi

Ako sve strane mnogougla (MNPQ sl. 155) dodiruju kružnu liniju, onda se kaže da je mnogougao tangentan (opisan oko kružne linije), ili da je kružna linija u njemu upisana.

137. Teoreme: 

1. Oko svakog trougla može da se opiše kružna linija i to samo jedna.

2. U svakom trouglu može da se upiše kružna linija i to samo jedna.

1. Temena A, B i C svakog trougla jesu tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, a kroz takve tačke, kao što smo videli (§ 104), može uvek da se opiše kružna linija, i to samo jedna.

2. Ako postoji takva kružna linija koja bi dodirivala sve strane trougla ABC (sl. 156), onda njen centar treba da bude podjednako udaljen od ovih strana. Dokažimo da takva tačka postoji. Geometrijsko mesto tačaka podjednako udaljenih od strana AB i AC je simetrala AM ugla A (§ 60); geometrijsko mesto tačaka podjednako udaljenih od BA i BC je simetrala BN ugla B. Ove se simetrale seku u nekoj tački O. Ona će biti podjednako udaljena od sve tri trouglove strane pošto leži na jednom i drugom geometrijskom mestu. Prema tome, da bi se upisala kružna linija u trougao, treba konstruisati simetrale dva ugla (na primer A i B) i njihovu presečnu tačku uzeti za centar.

Jedna od normala OP, OQ ili OR, koje su spuštene iz centra na trouglove strane, biće poluprečnik kruga. Kružna linija dodiruje strane u tačkama P, Q i R u kojima su one normalne prema poluprečnicima (§ 113). Može se upisati samo jedna kružna linija pošto se simetrale uglova seku samo u jednoj tački, a iz jedne tačke može se spustiti samo jedna normala na pravu.

Napomena. Neka se učenici sami uvere da se centar opisane kružne linije nalazi u trouglu samo ako je on oštrougli; u tupouglom trouglu on leži van trougla, a u pravouglom - na sredini hipotenuze. Centar upisane kružne linije leži naravno uvek u trouglu.

Posledica. Tačka O (sl. 156) podjednako je udaljena od strana CA i CB i leži prema tome na simetrali ugla C; na taj način, simetrale uglova u trouglu seku se u jednoj tački

138. Spoljnoupisane kružne linije. Spoljnoupisane kružne linije (sl. 157) jesu one koje dodiruju jednu stranu u trouglu i produženja dveju drugih strana (one leže van trougla i stoga se zovu spoljnoupisane). Takvih kružnih linija u trouglu ima tri. Da bi se one opisale, treba konstruisati simetrale spoljašnjih uglova u trouglu ABC i njihove presečne tačke uzeti za centre. Tako, centar kružne linije upisane u uglu A leži u tački O, koja je presečna tačka simetrala BO i CO spoljašnjih uglova nenaleglih sa A; poluprečnik je normala spuštena iz O na ma koju trouglovu stranu.

139. Osobina tetivnog ispupčenog četvorougla.

1. U ispupčenom tetivnom četvorouglu zbir dva suprotna ugla iznosi 2d.

2. Obrnuto: ako u ispupčenom četvorouglu zbir suprotnih uglova iznosi 2d, onda ce oko njega može opisati kružna linija. 

1. Neka je ABCD (sl. 158) tetivni ispupčeni četvorougao; treba da se dokaže da je:

∢B+∢D=2d

 i 

∢A+∢C=2d.

Zbir sva četiri ugla u ispupčenom četvorouglu iznosi 4d (§ 82). Prema tome je dovoljno dokazati samo jednu od traženih jednakosti.

Dokažimo, na primer, da je ∢B+∢D = 2d.

Uglovi, B i D, kao periferijski, se mere: prvi polovinom luka ADC; drugi polovinom luka ABC; prema tome zbir ∢B+∢D meri se polovinom zbira ½͡ADC+½͡ABC, a ovaj zbir jednak ½(͡ADC+͡ABC), tj. jednak polovini kružne linije; znači ∢B+∢D=180°=2d.

Neka u četvorouglu ABCD (sl. 158) ∢B+∢D=2d i, prema tome, ∢A+∢C=2d. Treba dokazati da se oko četvorougla može opisati kružna linija.

Kroz tri ma koja njegova temena, na primer A, B i C, povucimo kružnu liniju (što je uvek mogućno). Četvrto teme D mora da leži na kružnoj liniji, pošto u protivnom slučaju ono bi bilo ili u krugu, ili van njega, i tada se ugao ne bi merio polovinom luka ABC; stoga zbir ∢B+∢D ne bi se merio polovinom zbira lukova ADC i ABC i ne bi iznosio 2d, što se kosi sa pretpostavkom.

Posledice. 

1. Od svih paralelograma samo oko pravougaonika se može opisati kružna linija.

2. Oko trapeza se može opisati kružna linija ako je on ravnokraki.

140. Osobina tangentnog četvorougla. U tangentnom četvorouglu jednaki su zbirovi dve i dve suprotne strane.

Neka je ABCD (sl. 159) tangentni četvorougao, tj. njegove strane dodiruju kružnu liniju; treba da se dokaže da je AB+CD=BC+AD. Dodirne tačke obeležimo sa M, N, P i Q. Pošto su tangente povučene iz jedne tačke na kružnu liniju jednake, onda AM=AQ, BM = BN, CN=CP i DP = DQ.

Prema tome, AM+MB+CP+PD=AQ+QD+BN+NC, tj. AB+CD=AD+BC.