Periferijski i neki drugi uglovi. Konstrukcija tangente

Za kružni luk, zahvaćen stranama periferijskog ugla, kaže se da odgovara uglu. Tako uglu ABC odgovara luk AC.

124. Teorema. Periferijski ugao meri se polovinom odgovarajućeg luka.

Ovu teoremu treba razumeti tako da periferijski ugao sadrži onoliko ugaonih stepeni, minuta i sekunada, koliko se lučnih stepeni, minuta i sekunata sadrži u polovini odgovarajućeg luka.

Razmotrimo tri slučaja:

1. Centar O (sl. 137) leži na strani periferijskog ugla ABC. Povlačenjem poluprečnika AO dobijamo △AOB kod koga je OA=OB (kao poluprečnici) i, prema tome, ∢ABO=∢BAO. Ugao AOC kao spoljašnji jednak je zbiru uglova ABO i BAO, odnosno jednak je dvostrukom uglu ABO: stoga je ugao ABO jednak polovini centralnog ugla AOC. Ali, pošto se ugao AOC meri lukom AC, onda će se ugao ABC meriti polovinom luka AC.

2. Centar O leži između strana periferijskog ugla ABC (sl. 138). 

   Povlačenjem prečnika BD delimo ugao ABC na dva ugla, od kojih se jedan meri polovinom luka AD, a drugi polovinom luka DC; stoga se ugao ABC meri zbirom ½͡AD+½͡DC=͡AC

3. Centar O leži van periferijskog ugla ABC (sl. 139).

   Povlačenjem prečnika BD imamo:

   ∢ABC=∢ABD-∢CBD.

   Pošto se uglovi ABD i CBD mere polovinom luka AD odnosno CD, onda će se ugao ABC meriti razlikom ½͡AD-½͡CD, a ova razlika jednaka  ½(͡AD-͡CD), tj. ½͡AC.

125. Posledice: 

1. Svi periferijski uglovi nad istim lukom su jednaki (sl. 140), pošto se svaki od njih meri polovinom istoga luka.

   Ako veličinu jednoga od takvih uglova označimo sa a, onda se može reći da odsečak AmB (na slici osenčen) sadrži ugao jednak a.

2. Periferijski ugao upisan u polukrugu jeste prav (sl. 141), jer se meri polovinom polukružne linije i prema tome ima 90°.

    

126. Zadatak. Konstruisaši pravougli trougao kad je data hipotenuza a i kateta b (sl. 142).

Na pravu MN prenosimo AB=a, a nad AB kao nad prečnikom opišimo polukrug. Zatim iz tačke A (ili B) opišimo luk otvorom šestara jednakim b do preseka u tački C s kružnom linijom. Trougao ABC je traženi trougao pošto je ugao C prav, „a“ je hipotenuza, a „b“ kateta.

127. Zadatak. Iz krajnje tačke A (sl. 143) date poluprave AB podići normalu prema njoj (ne produžujući polupravu).

Iz ma koje tačke O van prave opišimo kružnu liniju poluprečnika OA, koja će seći pravu u tački C. Kroz tačku C povucimo prečnik CD i njegovu krajnju tačku D spojimo s tačkom A. AD je tražena normala pošto je ugao A prav kao periferijski ugao upisan u polukrugu.

128. Zadatak. Kroz datu tačku povući tangentu datoj kružnoj liniji.

Razlikujemo dva slučaja:

1. Data tačka C (sl. 144) leži na kružnoj liniji. Povucimo poluprečnik OC i u njegovoj krajnjoj tački C konstruišimo normalu (vidi prethodni zadatak).

2. Data tačka A, (na slici 145) leži van kružne linije. Spojimo tačke A i O i prepolovimo duž AO tačkom O iz koje opisujemo kružnu liniju poluprečnika OO₁. Kroz tačke B i B₁, u kojima ta kružna linija seče datu, povucimo prave AB i AB₁. Ove prave biće tražene tangente pošto su uglovi OBA i OB₁A pravi.

Posledica. Dve tangent povučene prema kružnoj liniji iz tačke van nje jednake su i grade jednake uglove s pravom koja spaja ovu tačku s centrom. Tačnost ovoga stava sleduje iz podudarnosti pravouglih trouglova AOB i AOB₁ (sl. 145).

129. Zadatak. Konstruisati zajedničku tangentu na dve date kružne linije O i O₁ (sl. 146).

1. Analiza. Pretpostavimo da je zadatak rešen. Neka AB bude zajednička tangenta, a A i B dodirne tačke. Ako odredimo jednu od tih tačaka, na primer A, onda će se lako naći i druga tačka. Povucimo poluprečnike OA i O₁B koji su paralelni pošto su normalni prema zajedničkoj tangenti; stoga ako iz O₁ povučemo O₁C∥BA, onda ćemo dobiti pravougli trougao OCO₁ s pravim uglom kod tačke C. Na taj način prava O₁C biće tangenta kružne linije opisane iz O otvorom šestara jednakim OC. Poluprečnik ove kružne linije OC=OA-CA=OA-O₁B, odnosno jednak je razlici poluprečnika datih kružnih linija.

   Konstrukcija. Prema izvršenoj analizi ima da se izvrši sledeća konstrukcija. Iz tačke O opišimo kružnu liniju čiji je poluprečnik jednak razlici datih poluprečnika, a iz tačke O₁ povucimo tangentu O₁C (na način kako je rešen prethodni zadatak). Povlačimo poluprečnik OC i produžujemo ga do preseka u tački A s datom kružnom linijom. Naposletku, iz A povucimo pravu AB∥CO₁.

   Na isti način može se konstruisati i druga zajednička tangenta A₁B₁. Prave AB i A₁B₁ zovu se spoljne zajedničke tangente dveju kružnih linija.

   Mogu se povući i dve unutrašnje tangente na sledeći način:

2. Analiza. Pretpostavimo da je zadatak rešen i da je AB jedna od traženih tangenata. Povucimo poluprečnike OA i O₁B u dodirne tačke A i B, koji su paralelni među sobom pošto stoje normalno na zajedničkoj tangenti.

   Ako iz O₁ povučemo O₁C paralelno AB i produžimo OA do preseka sa O₁C u tački C, onda će OC biti normalno na O₁C; stoga će kružna linija opisana iz O poluprečnika OC dodirivati pravu O₁C u tački C. Poluprečnik ove pomoćne kružne linije jednak je OA+AC=OA+O₁B, odnosno jednak je zbiru poluprečnika datih kružnih linija.

   Konstrukcija. Iz centra O opišimo kružnu liniju čiji je poluprečnik jednak zbiru datih poluprečnika i iz tačke O₁ konstruišimo tangentu O₁C; dodirnu tačku C spajamo sa O; najzad, kroz tačku A (presek OC s datom kružnom linijom) povucimo AB paralelno CO₁.

   Na isti način može se konstruisati i druga zajednička tangenta A₁B₁.

130. Teoreme.

1. Ugao ABC (sl. 148) čije se teme nalazi u krugu meri se poluzbirom lukova (AC i DE), od kojih je jedan zahvaćen stranama ugla a drugi produžecima tih strana.

2. Ugao ABC, (sl. 149), čije se teme nalazi van kruga a strane seku kružnu liniju, meri se polurazlikom lukova (AC i ED) između strana i ugla.

Povlačenjem tetive AD (na jednoj i na drugoj slici), dobijamo △ABD za koji je ugao ABC spoljašnji, ako se njegovo teme nalazi u krugu, i unutrašnji, ako teme leži van kruga. Stoga, u prvom slučaju: ∢ABC=∢ADC+∢DAE; u drugom slučaju: ∢ABC=∢ADC-∢DAE. Pošto se uglovi ADC i DAE, kao periferiski, mere polovinom lukova AC i DE, onda se ugao ABC meri: u prvom slučaju zbirom ½͡AC+½͡͡DE=½(͡AC+͡DE), a u drugom slučaju razlikom ½͡AC-½͡DE=½(͡AC-͡DE).

131. Teorema. Ugao ACD, (sl. 150 i 151) između tangente i tetive meri se polovinom luka koji se nalazi u unutrašnjosti ugla.

Pretpostavimo prvo da tetiva CD prolazi kroz centar O, odnosno da je ona prečnik (sl. 150). Tada će ugao ACD biti prav i jednak 90°. Ali i polovina luka CmD ima 90° pošto ceo luk CmD čini polovinu kružne linije.

Znači, teorema je tačna u ovom specijalnom slučaju.

Sada uzmimo slučaj (sl. 151) da tetiva CD ne prolazi kroz centar. Povucimo prečnik EC, tada:

∢ACD=∢ACE-∢DCE.

Ugao ACE između tangente i prečnika meri se polovinom luka CDE, ugao DCE kao periferiski, polovinom luka DE; prema tome, ugao ACD meri se razlikom ½͡CDE-½͡DE, tj. polovinom luka CD.

Isto tako može se dokazati da se tupi ugao BCD (sl. 151) između tetive i tangente meri polovinom luka CnED; razlika u dokazivanju je samo u tome što će taj ugao biti zbir pravog ugla BCE i oštrog ECD.

132. Zadatak. Nad datom duži AB konstruisati kružni odsečak koji sadrži dati ugao a (sl. 152).

Analiza. Pretpostavimo da je zadatak rešen i neka odsečak AmB sadrži ugao a, odnosno da je svaki u njemu upisani periferijski ugao jednak uglu a. Povucimo tangentu na kružnu liniju u tački A. Tada će ugao BAE između tetive i tangente biti jednak periferijskom uglu ACB, pošto se svaki od njih meri polovinom luka AnB. Centar kruga O mora da leži na simetrali duži AB i u isto vreme i na normali AO prema tangenti AE u dodirnoj tački. Na osnovu izloženog dolazimo do sledeće konstrukcije.

Konstrukcija. U krajnjoj tački A duži AB konstruišimo ugao BAE ravan uglu a; povucimo simetralu DO duži AB i normalu prema AE u tački A; iz njihove presečne tačke O opisujemo kružnu liniju poluprečnika OA.

Dokaz. Odsečak AmB biće traženi odsečak pošto se svaki periferijski ugao upisan u njemu meri polovinom luka AnB kojim se meri ugao BAE=a.

Napomena. Na sl.152 konstruisan je odsečak iznad duži AB. Isti takav odsečak može se konstruisati i s druge strane AB. Na taj način, geometrisko mesto tačaka iz kojih se data duž AB vidi pod datim uglom "a" sastoji se iz lukova dva kružna odsečka, od kojih svaki sadrži ugao a, i to jednoga s jedne strane duži AB, a drugoga - s druge strane.