Odnos lukova, tetiva i njihovih centralnih razdaljina

1 - Neka su luci AB i CD jednaki (sl. 120). Treba dokazati da su tetive AB i CD, kao i njihove centralne razdaljine OE i OF, jednake.

Obrnimo isečak OAB oko centra u smislu označenom strelicom, tako da bi se poklopili poluprečnici OB i OC. Tada će luk BA poklopiti luk CD.

Znači da će se poklopiti i tetive AB i CD kao i normale OE i OF (iz jedne tačke može da se spusti samo jedna normala na pravu), tj. AB=CD i OE=OF.

2 - Neka, je luk AB (sl. 121) manji od luka CD (oba luka su manja od 180°); treba dokazati da je tetiva AB manja od tetive CD, a da je normala OE veća od normale OF. Prenesimo na luk CD luk CK jednak luku AB i povucimo tetivu CK, koja je jednaka AB i jednako s njom udaljena od centra. Trouglovi COD i COK imaju po dve jednake strane (kao poluprečnici), a zahvaćeni tim stranama uglovi nisu jednaki; prema tome (§ 52) naspram većeg ugla, tj. ∢COD, leži veća strana; znači CD>CK ili CD>AB.

Da bismo dokazali da je OE>OF, povucimo OL⊥CK i uzmimo u obzir da je OE=OL; dovoljno je samo uporediti OF ca OL. U pravouglom trouglu OFM (osenčenom na slici) hipotenuza OM veća je od katete OF; pošto je OL>OM, biće OL>OF ili OE>OF.

Teorema, dokazana za jedan krug, ostaje tačna i za jednake krugove, koji mogu da se razlikuju samo svojim položajem.

110. Obrnute teoreme. Pošto su u prethodnom paragrafu razmotreni svi mogući, uzajamno eliminirajući slučajevi odnosno veličine dva luka istog poluprečnika i pošto su dobijeni uzajamno eliminirajući rezultati odnosno uporedne veličine tetiva i njihovih centralnih razdaljina, onda i obrnute, teoreme moraju biti tačne, i to:

U jednom krugu ili u jednakim krugovima:

1. jednakim tetivama odgovaraju jednaki luci i jednake centralne razdaljine;

2. tetive čije su centralne razdaljine jednake, moraju biti jednake i odgovaraju im jednaki luci;

3. od dve nejednake tetive veća je bliža centru i odgovara joj veći luk;

4. tetiva koja je bliža centru veća je i odgovara joj veći luk. 

Tačnost ovih teorema lako se utvrđuje pomoću indirektnog dokaza. Na primer, tačnost prve teoreme ovako se dokazuje: kad jednakim tetivama ne bi odgovarali jednaki luci, onda prema pravoj teoremi one ne bi bile jednake, što se kosi s pretpostavkom; znači, jednakim tetivama odgovaraju i jednaki luci, a prema tome i jednake centralne razdaljine.

111. Teorema. Prečnik je najveća tetiva.

Ako spojimo s centrom O krajnje tačke neke tetive AB, koja ne prolazi kroz centar (sl. 122), onda ćemo dobiti trougao AOB čija je jedna strana tetiva a dve druge poluprečnici. U trouglu svaka strana je manja od zbira dveju drugih; znači tetiva AB je manja od zbira dva poluprečnika, dok je prečnik jednak sa dva poluprečnika. Na taj način prečnik je veći od svake tetive koja ne prolazi kroz centar. Ali pošto je prečnik takođe tetiva, onda se može reći da je prečnik najveća tetiva u krugu.