103. Prethodne napomene. Očevidno je da se kroz jednu tačku (A, sl. 113) može povući bezbroj kružnih linija: njihovi centri imaju proizvoljan položaj.
Kroz dve tačke (A i B, sl. 114) možemo povući takođe bezbroj kružnih linija, ali njihovi centri nemaju proizvoljan položaj, pošto tačke koje su podjednako udaljene od A i B leže na simetrali duži AB (§ 58).
Sada ćemo videti da li se može kružna linija povući kroz tri tačke.
104. Teorema. Kroz tri tačke koje ne leže na istoj pravoj može se povući kružna linija i to samo jedna.
Kroz tri tačke A,B,C (sl. 115) koje ne leže na istoj pravoj (drugim rečima, kroz temena ABC) može da se povuče kružna linija samo onda, ako se može naći takva četvrta tačka O koja je podjednako udaljena od tačaka A, B i C. Dokažimo da takva tačka postoji i to samo jedna. Uzmimo u obzir da svaka tačka podjednako udaljena od A i B leži na simetrali MN duži AB (§ 58); isto tako svaka tačka podjednako udaljena od B i C leži na simetrali PQ duži BC. Prema tome, ako postoji takva tačka koja je podjednako udaljena od A,B i C, ona mora da leži i na MN i na PQ, što znači da se ona poklapa s presečnom tačkom ovih pravih. Prave MN i PQ uvek se seku pošto stoje normalno na pravama AB i BC koje se seku (§ 58). Njihova presečna tačka biće podjednako udaljena od A, B i C. Ako ovu tačku O uzmemo za centar, a duž OA (ili OB, ili OC) za poluprečnik, onda će kružna linija proći kroz A, B i C. Prave MN i PQ mogu se preseći samo u jednoj tački; prema tome, kružna linija može da ima samo jedan centar, jedan poluprečnik i biće jedina koja prolazi kroz tri tačke.
Napomena. Ako tri tačke A, B i C (sl. 115) leže na jednoj pravoj, onda su simetrale MN i PQ paralelne i neće se seći. Znači, kroz tri tačke na jednoj pravoj ne može da se povuče kružna linija.
Posledica. Tačka O (sl. 115) podjednako udaljenja od A i C mora da leži i na simetrali duži AC. Na taj način: simetrale strana u trouglu seku se u jednoj tački.
105. Teorema. Prečnik (AB, sl. 116), povučen normalno prema tetivi (CD), polovi tetivu i oba luka. Presavijmo sliku oko prečnika AB, tako da leva strana padne na desnu. Tada će levi polukrug poklopiti desni i normala KC pasti na KD.
Iz ovoga sleduje da će tačka C (presek kružne linije sa KC) pasti na D; stoga će CK=KD; lukovi ͡BC=͡BD i ͡AC=͡AD.
106. Obrnute teoreme.
Prečnik (AB), povučen kroz sredinu tetive (CD), stoji normalno na njoj i polovi odgovarajući luk (sl. 116).
Prečnik (AB), povučen kroz sredinu luka (CBD), stoji normalno na tetivi i polovi je. Tačnost obe ove teoreme lako se utvrđuje indirektnim dokazima.
107. Teorema. Luci (AC i BD, sl. 117) između paralelnih tetiva su jednaki.
Presavijmo sliku oko prečnika EF⊥AB.
Onda će na osnovu prethodne teoreme tačka A pasti u B, tačka C u D i prema tome će luk AC poklopiti luk BD.
108. Zadaci.
Prepoloviti dati luk AB, (sl. 118). Povucimo tetivu AB i spustimo na nju normalu iz centra i produžimo normalu do preseka s lukom. Na osnovu prethodne teoreme normala će prepoloviti luk AB. Ako centar nije poznat, onda se konstruiše simetrala tetive AB.
Odrediti centar date kružne linije (sl. 119). Uzmimo na kružnoj liniji ma koje tri tačke A, B i C i povucimo dve tetive, na primer AB i CB. Zatim konstruišimo njihove simetrale MN i PQ.
Traženi centar, pošto je podjednako udaljen od A, B i C, nalazi se u preseku simetrala MN i PQ.
