Uzajamni položaj dve kružne linije

Dve kružne linije koje se ne poklapaju ne mogu imati tri zajedničke tačke. U protivnom slučaju, kroz tri tačke mogle bi se povući dve različite kružne linije, što je nemogućno. (§ 104). 

Neograničena prava koja prolazi kroz centre dve kružne linije zove se centralna linija.

118. Teorema. Ako dve kružne linije (sl. 131) imaju zajedničku tačku (A) van centralne linije, onda imaju još jednu zajedničku tačku (A₁), simetričnu prvoj prema centralnoj liniji (prema tome se kružne linije seku).

Centralna linija sadrži u sebi prečnike obeju kružnih linija i stoga je ona osa simetrije cele slike; zajedničkoj tački A, koja leži van centralne linije, odgovaraće simetrična zajednička tačka A₁ na drugoj strani od ose simetrije (na normali prema centralnoj liniji).

Posledica. Zajednička tetiva (AA₁, sl. 131) dveju kružnih linija koje se seku normalna je prema centralnoj liniji i njome prepolovljena.

119. Teorema. Dve kružne linije se dodiruju ako imaju zajedničku tačku (A) na centralnoj liniji (sl. 132 i 133).

Kružne linije ne mogu imati drugu zajedničku tačku van centralne linije, pošto bi u tome slučaju imale i treću zajedničku tačku s druge strane od centralne linije i morale bi se poklapati. Ne mogu da imaju drugu zajedničku tačku i na centralnoj liniji, pošto bi tada imale zajedničku tetivu koja prolazi kroz centre, odnosno zajednički prečnik, a to bi značilo da se kružne linije poklapaju.

Napomena. Dodir dveju kružnih linija zove se spoljni ako se one nalaze jedna van druge (sl. 132) i unutrašnji ako se jedna nalazi u drugoj (sl. 133).

120. Teorema (obrnuta prethodnoj). Ako se dve kružne linije dodiruju (u tački A, sl. 132 i 133), onda se dodirna tačka nalazi na centralnoj liniji.

Tačka A ne može da leži van centralne linije, pošto bi tada kružna linija imala još jednu zajedničku tačku, što se kosi sa pretpostavkom.

121. Posledica. Dve kružne linije koje se dodiruju imaju zajedničku tangentu u dodirnoj tački. Prava MN povučena kroz dodirnu tačku normalno prema poluprečniku OA (sl. 132 i 133) biće normalna i prema poluprečniku O₁A.

122. Različiti slučajevi uzajamnog položaja dve kružne linije.

Obeležimo poluprečnike dve kružne linije sa R i R₁ a njihovu centralnu razdaljinu sa d. Razmotrimo kakva zavisnost postoji između ovih veličina u raznim slučajevima uzajamnog položaja dve kružne linije. Ima pet ovakvih slučajeva, i to:

1. Kružne linije leže jedna van druge ne dodirujući se spolja (sl. 134), u ovom slučaju d>R+ R

2. Kružne linije se dodiruju spolja (sl. 135); tada će d=R+R₁, a dodirna tačka leži na centralnoj liniji.

3. Kružne linije se seku (sl. 131); tada d<R+R₁ ali, u isto vreme, d>R-R₁, pošto je u trouglu OAO₁ (Na slici 131 treba povući OA i O₁A.) strana OO₁=d manja od zbira a veća od razlike dve druge strane R i R₁.

4. Kružne linije se dodiruju unutra (sl. 133); u ovom slučaju d=R-R₁ i dodirne tačke leže na centralnoj liniji.

5. Jedna kružna linija nalazi se u drugoj ne dodirujući se unutra (sl. 136); tada je d<R-R₁. Ako je d=0, tj. ako se centri poklapaju, kružne linije se zovu koncentrične.

Napomena. Učenicima se preporučuje da provere tačnost obrnutih stavova i to:

1. Ako d>R+R₁, kružne linije leže jedna van druge bez spoljnog dodirivanja; 

2. Ako d=R+R₁, kružne linije se dodiruju spolja; 

3. Ako d<R+R₁, kružne linije se seku;

4. Ako d=R- R₁, kružne linije se dodiruju iznutra

5. Ako d<R-R₁, jedna kružna linija se nalazi u drugoj.

Tačnost ovih stavova lako se utvrđuje indirektnim dokazom.