Konstruktivni zadaci
133. Metoda geometrijskih mesta. Za rešavanje mnogih zadataka s uspehom se primenjuje pojam o geometrijskom mestu tačaka i metoda koja se zasniva na tome pojmu.
Ova metoda, poznata još od Platonovog doba (IV vek pre naše ere), sastoji se u ovome. Pretpostavimo da se rešenje zadatka svodi na traženje neke tačke koja zadovoljava izvesne uslove. Odbacimo privremeno jedan od uslova. Tada će zadatak biti neodređen, tj. njega mogu da zadovolje više tačaka. Ove tačke čine neko geometrijsko mesto. Konstruišimo to geometrijsko mesto, ako je to moguće. Onda uzmimo u obzir privremeno odbačeni uslov i eliminišimo neki drugi; tada će zadatak zadovoljavati opet više tačaka koje čine neko drugo geometrijsko mesto. Konstruišimo ga, ako je to moguće. Tražena tačka koja ima da odgovara jednom i drugom uslovu mora da leži u preseku oba geometrijska mesta. Zadatak je mogućan ako se geometrijska mesta seku i nemogućan ako se ona ne seku. Broj rešenja zavisi od broja presečnih tačaka.
Ovom metodom rešićemo jedan zadatak, koji će nam u isto vreme pokazati da se često moramo poslužiti pomoćnim linijama, da bi se uzeli u obzir svi uslovi zadatka.
134. Zadatak. Konstruisati trougao kada je data osnovica a, ugao pri vrhu A i zbir ѕ bočnih strana.
Neka ABC bude traženi trougao (sl. 153). Da bi se uzeo u obzir zbir bočnih strana, produžimo AB i prenesimo BM=s. Povlačenjem MC dobijemo pomoćni trougao BMC Ako konstruišemo ovaj trougao, onda ćemo lako naći i traženi trougao ABC.
Konstrukcija trougla BMC svodi se na iznalaženje tačke M.
Trougao AMC je ravnokraki trougao (AM=AC) i prema tome, ∢M=½∢ BAC (pošto je ∢M+∢MCA=∢BAC). Na taj način zaključujemo da tačka M mora da zadovoljava ova dva uslova:
od tačke B treba da je udaljena za s;
iz tačke M duž BC mora da se vidi pod uglom =½∢A.
Odbacivši drugi uslov dobijemo bezbroj tačaka M koje leže na kružnoj liniji opisanoj iz tačke B poluprečnika s. Ako pak odbacimo prvi uslov, onda ćemo dobiti bezbroj tačaka M koje leže na luku kružnog odsečka konstruisanog nad duži AC, a koja se iz svih tačaka vidi pod uglom =½∢A. Na taj način se iznalaženje tačke M svodi na konstrukciju dva poznata geometrijska mesta. Zadatak nema rešenja ako ova geometrijska mesta nemaju zajedničkih tačaka. Zadatak će imati jedno ili dva rešenja, što zavisi da li se geometrijska mesta dodiruju ili seku (na našoj slici dobijaju se dva trougla ABC i A1BC koji odgovaraju uslovima zadatka).
Ponekad se zadatak svodi ne na određivanje tačke, već prave koja treba da zadovoljava izvesne uslove. Ako odbacimo jedan od uslova, onda ćemo dobiti bezbroj pravih i može se desiti da ove prave određuju neku liniju (na primer sve dodiruju neku kružnu liniju). Odbacivši drugi uslov, dobićemo opet bezbroj pravih koje će možda odrediti neku drugu liniju. Konstrukcijom tih linija dolazi se do tražene prave.
Navešćemo jedan primer.
135. Zadatak. Date su dve kružne linije O i O1. Povući zajedničku sečicu, tako da odsečci koje ona gradi u unutrašnjosti kružnih linija budu jednaki datim dužima a i a1.
Ako uzmemo u obzir samo jedan uslov, na primer da deo sečice u krugu O bude a, onda ćemo dobiti bezbroj sečica koje moraju biti podjednako udaljene od centra kruga (pošto jednakim tetivama odgovaraju jednake središnje razdaljine). Stoga, ako u krugu O povučemo ma koju tetivu jednaku a, i poluprečnikom koji je jednak središnjoj razdaljini te tetive opišemo kružnu liniju koncentričnu sa O, onda će sve sečice, o kojima je reč, dodirivati ovu pomoćnu kružnu liniju.
Isto tako, kad se uzme u obzir samo drugi uslov, videćemo da tražena sečica treba da dodiruje drugu pomoćnu liniju koncentričnu sa O1. Znači, rešenje zadatka se svodi na konstrukciju zajedničke tangente dveju kružnih linija.
VEŽBANJA
Naći geometrijska mesta:
Tačaka iz kojih tangente povučene na datu kružnu liniju imaju određenu dužinu.
Tačaka iz kojih se data kružna linija vidi pod datim uglom (tj. tangente povučene iz date tačke na kružnu liniju zahvataju dati ugao).
Centara kružnih linija datog poluprečnika koje dodiruju datu pravu.
Centara kružnih linija datog poluprečnika koje dodiruju datu kružnu liniju (dva slučaja: dodir spoljni i dodir unutrašnji).
Duž date dužine kreće se paralelno samoj sebi, tako da jedna njena krajnja tačka klizi po kružnoj liniji. Odrediti geometrisko mesto koje opisuje druga krajnja tačka.
Uputstvo. Uzmimo dve prave koje predstavljaju dva položaja naše duži, i kroz krajnje tačke koje leže na kružnoj liniji povucimo poluprečnike; kroz druge krajnje tačke povucimo prave paralelne ovim poluprečnicima do preseka s pravom koja prolazi kroz centar paralelno pokretnoj pravoj. Razmotrimo dobijeni paralelogram.
Krajnje tačke duži određene dužine klize po stranama pravoga ugla. Naći geometrijsko mesto koje opisuje sredina duži.
Dokazati teoreme:
Od svih tetiva povučenih kroz tačku A u unutrašnjosti kruga najmanja je ona koja je normalna na prečniku koji prolazi kroz tačku A.
Na tetivi AB uzete su dve tačke D i E, simetrične prema sredini C tetive; iz ovih tačaka podignute su prema AB normale DF i EG do preseka s kružnom linijom. Dokazati da su ove normale jednake.
Uputstvo: Presaviti sliku po prečniku.
U krugu povučene su dve tetive CC' i DD' normalne na prečnik AB Dokazati da je prava MM' koja spaja sredine tetiva CD i C'D' normalna na prečnik AB.
U krugu s centrom u O povučena je tetiva AB i produžena za dužinu BC jednaku poluprečniku. Kroz tačku C i centar O povučena sečica CD (D - druga presečna tačka s kružnom linijom). Dokazati da je ugao AOD jednak uglu ACD.
Kroz centar kružne linije i datu tačku van nje povučena je sečica. Dokazati da deo sečice između date tačke i bliže presečne tačke je najmanje otstojanje date tačke do kružne linije, a deo sečice između date tačke i druge presečne tačke - najveće otstojanje.
Najveće otstojanje dveju kružnih linija koje leže jedna izvan druge jeste deo centralne linije između kružnih linija.
Od svih sečica povučenih kroz presečnu tačku dveju kružnih linija, ne produžujući ih iza kružnih linija, najveća je ona koja je paralelna centralnoj liniji.
Dve kružne linije se dodiruju spolja. Ako prema njima povučemo tri zajedničke tangente, onda će unutrašnja od njih poloviti deo svake spoljašnje između dodirnih tačaka.
Kroz tačku A kružne linije povučena je tetiva AB i tangenta u tački B. Prečnik normalan prema poluprečniku OA seče tangentu i tetivu (ili njeno produženje) u tačkama C i D. Dokazati da je BC=CD.
Dve kružne linije O i O1 koje se dodiruju spolja u tački A imaju zajedničku tangentu BC (B i C dodirne tačke); dokazati da je ugao BAC prav.
Uputstvo: Povući u tački A zajedničku tangentu i razmotriti ravnokrake trouglove ABD i ADC.
Dve prave polaze iz tačke M i dodiruju kružnu liniju u tačkama A i B. Povucimo poluprečnik OB i produžimo ga preko tačke B na otstojanje BC jednako OB. Dokazati da je ∢AMC=3∢BMC.
Dve prave polaze iz tačke M i dodiruju kružnu liniju u tačkama A i B. Na manjem luku između A i B uzmimo proizvoljnu tačku C i kroz nju povucimo treću tangentu do preseka s MA i s MB u tačkama D i E. Dokazati da se: 1) obim △MDE i 2) ugao DOE ne menjaju kada tačka C menja svoj položaj.
Uputstvo. Obim DME=MA+MB, a ∢DOE=½∢AOB.
Paralelno centralnoj liniji OO' dve jednake kružne linije povučena je sečica koja seče kružnu liniju O u tačkama A i B, a kružnu liniju O' - u A' i B'. Dokazati da je AA'=BB'=OO'.
Konstruktivni zadaci
Podeliti luk na 4, 8, 16, ... jednakih delova.
Naći dva luka istog poluprečnika kad je poznat njihov zbir ili razlika.
Iz date tačke kao iz centra opisati kružnu liniju koja polovi datu kružnu liniju.
Na datoj pravoj odrediti tačku najbližu datoj kružnoj liniji.
U krugu data je tetiva. Povući drugu tetivu, tako da je prepolovljena prvom i da se tetive seku pod datim uglom (kada je zadatak mogućan ?).
Kroz datu tačku u krugu povući tetivu koja je tom tačkom prepolovljena.
Iz tačke na jednoj strani ugla opisati kružnu liniju koja na drugoj strani gradi tetivu određene dužine.
Datim poluprečnikom opisati kružnu liniju čiji centar leži na jednoj strani ugla, a koja na drugoj strani gradi tetivu određene dužine.
Datim poluprečnikom opisati kružnu liniju koja dodiruje datu pravu u datoj tački.
Povući tangentu na kružnu liniju paralelno datoj pravoj.
Opisati kružnu liniju koja prolazi kroz datu tačku A, a dodiruje datu pravu u datoj tački B.
Opisati kružnu liniju koja dodiruje strane datog ugla i to jednu od njih u datoj tački.
Između dve paralelne prave data je tačka; opisati kružnu liniju tako da prolazi kroz ovu tačku a dodiruje obe prave.
Na datu kružnu liniju povući tangentu pod datim uglom prema datoj pravoj (koliko ima rešenja?).
Iz tačke van kruga povući sečicu, tako da njen unutrašnji odsečak ima određenu dužinu (izvršiti analizu zadatka).
Datim poluprečnikom opisati kružnu liniju koja prolazi kroz datu tačku i dodiruje datu pravu.
Na datoj pravoj odrediti tačku, tako da tangente povučene iz nje prema datoj kružnoj liniji imaju određenu dužinu.
Konstruisati △ kad je poznat jedan ugao i dve visine, od kojih je jedna povučena iz temena datog ugla.
Date su dve tačke; povući pravu, tako da normale spuštene na nju iz datih tačaka imaju određene dužine.
Opisati kružnu liniju koja prolazi kroz datu tačku i dodiruje datu kružnu liniju u datoj tački.
Opisati kružnu liniju koja dodiruje dve paralelne prave i krug između njih.
Datim poluprečnikom opisati kružnu liniju koja dodiruje dati krug i prolazi kroz datu tačku (razmotriti tri slučaja; data tačka leži: 1) van kruga, 2) na kružnoj liniji i 3) u unutrašnjosti kruga).
Datim poluprečnikom opisati kružnu liniju koja dodiruje datu pravu i dati krug.
Datim poluprečnikom opisati kružnu liniju koja na stranama datog ugla gradi tetive određene dužine.
Opisati kružnu liniju koja dodiruje dati krug u datoj tački i datu pravu (dva rešenja)
Opisati kružnu liniju koja dodiruje datu pravu u datoj tački i dati krug (dva rešenja).
Opisati kružnu liniju koja dodiruje dva data kruga, i to jedan od njih u datoj tački (razmotriti tri slučaja: 1) traženi krug leži van datih krugova; 2) jedan od datih krugova leži van traženog kruga, a drugi u unutrašnjosti; 3) oba data kruga nalaze se u unutrašnjosti traženog kruga
Opisati kružnu liniju koja dodiruje tri data kruga izvan ili unutra
U dati isečak upisati kružnu liniju koja dodiruje poluprečnike i luk isečka.
U dati krug upisati tri jednaka kruga koji se dodiruju uzajamno dva po dva i dodiruju dati krug.
Kroz tačku u unutrašnjosti kruga povući tetivu tako da razlika njenih odsečaka ima određenu dužinu.
Uputstvo. Opisati kroz datu tačku kružnu liniju koncentričnu s datom. U ovoj kružnoj liniji od date tačke konstruisati tetivu date dužine.
Kroz presečnu tačku dveju kružnih linija povući sečicu, tako da njen deo u unutrašnjosti kružnih linija ima određenu dužinu.
Uputstvo. Konstruisati pravougli trougao koji ima za hipotenuzu odsečak centralne linije, a za katetu polovinu date duži itd.
Iz tačke van kruga povući sečicu tako da njen spoljašnji odsečak bude jednak unutrašnjem.
Uputstvo. Neka je O - centar kružne linije, R - njen poluprečnik, A - data tačka. Konstruišimo △AOB, gde je AB=R, OB=2R. Ako je C sredina duži OB, onda je AC - tražena sečica.
Nacrtati luk spregnut (§ 116) s datom pravom u datoj tački, a koji prolazi kroz datu tačku.
Vezati dve neparalelne prave spregnutim lukom (§ 116). Razmotriti tri slučaja: 1) tačka sprega i poluprečnik luka nisu poznati; 2) kada je dat poluprečnik luka; 3) kada je data jedna tačka sprega, a poluprečnik nije poznat (primer takvih vezivanja pravim lucima predstavljaju okuke na železničkim prugama).
Linija koja je poznata u arhitekturi pod imenom „kriva o trima centrima“ (ili poluelipsasta kriva) ovako se crta (sl. 154): duž AB deli se na tri jednaka dela tačkama C i D; iz ovih tačaka, kao iz centara, opisuju se lukovi poluprečnika CD do preseka J; povlače se i produžuju prave JC i JD; opisuju se lukovi AE i BF s centrima u C i D i luk EF s centrom u J. Objasniti zašto su lukovi AE, EF i FB spregnuti. Da li će biti spregnuti ako je AC=DB, ako nije jednako CD?
