141. Videli smo da se:
simetrale strana u trouglu seku u jednoj tački (koja je centar opisanog kruga),
tri simetrale uglova u trouglu seku u jednoj tački (koja je centar upisanog kruga).
Sledeće dve teoreme daju još dve značajne tačke u trouglu:
presečna tačka visina i
presečna tačka srednjih (težišnih linija).
142. Teorema. Tri trouglove visine se seku u jednoj tački.
Kroz svako trouglovo teme (sl. 160) povucimo pravu paralelnu suprotnoj strani. Dobijemo pomoćni trougao A1B1C1, u kome su visine datog trougla normalne prema stranama. Pošto je C1B=AC=BA1, (kao suprotne strane u paralelogramu), onda je tačka B sredina strane A1C1.
Na isti način se možemo uveriti da je C sredina A1B1, a A - sredina B1C1. Prema tome visine AD, BE i CF u △A1B1C1 jesu simetrale strana i kao takve se seku u jednoj tački (§ 104).
Napomena. Presečna tačka visina se zove ortocentar.
143. Teorema. Tri srednje linije u trouglu se seku u jednoj tački; ova tačka od svake srednje linije otseca treći deo računajući od odnosne strane.
Uzmimo u △ABC (sl. 161) ma koje dve srednje linije, na primer AE i BD, koje se seku u O, i dokažimo da je OD=⅓BD i OE=⅓AE.
Prepolovimo OA i OB tačkama F i G i konstruišimo četvorougao DEGF. Duž FG spaja sredine dveju strana u △ABC, prema tome FG∥AB i FG=½AB. Duž DE spaja takođe sredine dveju strana u △ABC; stoga je DE∥AB i DE=½AB.
Odatle zaključujemo da je DE∥FG i DE=FG: prema tome, četvorougao DEGF je paralelogram (§ 89) i OF=OE i OG=OD. Iz ovoga sleduje da je OE=⅓AE i OD=⅓BD.
Ako se uzme treća srednja linija s jednom od srednjih linija AE ili BD, onda se može pokazati da njihova presečna tačka otseca od svake od njih treći deo računajući od osnovice; znači, treća srednja linija prolazi kroz istu tačku O.
Iz fizike je poznato da je presečna tačka srednjih linija trouglovo težište; ono uvek leži u trouglu.