Da bi inženjeri u 3D CAD programima modelirali proizvode koji imaju složeni zakrivljeni oblik, nije im potrebno poznavati kompleksne matematičke metode i algoritme koji služe za opisivanje površi slobodnog oblika (Freeform surfaces).
Naravno, to ne znači da je dovoljno samo sesti za 3D CAD softver specijalizovan za površinsko modeliranje i naučiti koristiti njegove alatke. Kod površinskog modeliranje je veoma bitan kvalitet površinskih 3D modela, a da bi se on postigao, nephodno je poznavati barem osnovu matematike zadužene za predstavljanje krivih i površi slobodnog oblika. Na sledećim stranama sam probao da opišem osnovna znanja iz matematike koja su neophodna inženjerima da bi se mogli baviti površinskim modeliranjem.
Pre nego što krenete dalje sa čitanjem preporučujem Vam da se prvo upoznate sa tekstovima u kojima sam opisao Krive slobodnog oblika.
Ako ste matematičar ili programer i interesuje Vas geometrijsko modeliranje površi slobodnog oblika, verujem da znate matematiku bolje od mene i ovi tekstovi će Vam predstavljati samo odskočnu dasku za dublje proučavanje ove materije. Na internetu postoji veliki broj veb sajtova, naučnih radova i knjiga iz ove matematičke oblasti tako da ćete brzo pronaći sve što Vas interesuje
Interpolacija i aproksimacija
Interpolacija i aproksimacija su metode numeričke matematike koje se koriste za analizu i zamenu složenih funkcija pomoću jednostavnijih (obično polinoma). Interpolacija zahteva da kriva ili površ prolaze tačno kroz sve zadate tačke, a aproksimacija teži da pronađe krivu ili površ koja najbolje opisuje zadati skup tačaka, ali ne mora nužno prolaziti kroz svaku od njih.
Interpolacija
Interpolacija u CAD sistemima predstavlja matematičku metodu kojom se proračunava kontinualna 3D površ koja prolazi kroz sve zadate tačke.
Aproksimacija
Aproksimacija u CAD sistemima predstavlja matematičku metodu kojom se proračunava kontinualna 3D površ koja ne mora nužno da prolazi kroz sve zadate tačke. U praksi se često dešava dešava da su tačna ili interpolirana površ veoma složene što čini proračune sa njima teškim ili nemogućim. U tom slučaju je potrebno pronaći približnu površ koja će biti dovoljno dobra da zameni tačnu tj. učini da složeni problemi postanu rešivi, a proračuni brži. Drugim rečima površ dobijena aproksimacijom zadatih tačaka je približna tačnoj, ali dovoljno precizna da bi se mogla koristiti za proračune i modeliranje.
Vrste površi
Površi se u matematici kao i krive mogu podeliti na dve vrste: analitičke i sintetičke.
Analitičke površi
Analitičke površi predstavljaju skup tačaka čije koordinate zadavoljavaju neku matematičku jednačinu. Jednostavnije rečeno analitičke površi su vrsta površi čiji se oblik može precizno opisati jednostavnim matematičkim jednačinama.
Analitičke površi se koriste za predstavljanje jednostavnih pravilnih oblika karakterističnih za mašinske delove. Ako pogledate većinu mašinskih delova videćete da se njihov oblik sastoji od ravni ograničenih dužima i lukovima, rupa cilindričnog oblika, zaobljenja čiji oblik određuje kružni luk..., sve su to analitičke površi koje su konstruisanje na osnovu jednostavnih analitičkih geometrijskih elemenata (duž, kružnica, kružni luk, elipsa...).
Postoji veliki broj analitičkih površi, a u CAD softverima se najčešće sreću:
Ravanske površi - leže u nekoj ravni
Rotacione površi - dobijaju se rotiranjem geometrijskih elementata (duž, kružnica, luk, kriva...) oko ose
Prizmatične površi - dobijaju se pomeranjem zatvorenih ravanskih 2D kontura duž nekog pravca tj. projektovanjem linearno u prostoru.
Pravolinijske površi - dobijaju se pomeranjem prave linije (izvodnice ili generatrise) po jednom ili više geometrijskih elementata (direktrisa).
...
Analitičke površi veoma tačno predstavljaju oblik, lake su za izračunavanje, ali pomoću njih se mogu opisati samo jednostavni pravilni oblici. One se u CAD softverima mogu konstruisati pomoću njihovih analitičkih jednačina ili NURBS matematičkom metodom.
Sintetičke površi
U slučajevima kada se površi ne mogu predstaviti analitičkim jednačinama, pribegava se predstavljanju pomoću skupa tačaka kroz koje se površ interpolira ili aproksimira. Ovaj način predstavljanja se zove sintetički.
Površi slobodnog oblika (Freeform surfaces) su vrsta sintetičkih površi koje se konstruišu interpolacijom ili aproksimacijom tačaka i koriste se u 3D CAD softverima za predstavljanje zakrivljenih glatkih oblika koji se pojavljuju na spoljašnjim površinama aviona, brodova, automobila... Sintetičke površi, odnosno površi slobodnog oblika se ne mogu predstaviti jednostavnim jednačinama kao analitičke površi, već pomoću složenih jednačina sa polinomima.
Najpoznatiji primeri sintetičkih površi koje se koriste u 3D CAD sistemima su Bezjeove površi, B-Splajn površi, NURBS površi, Gordonova površ (Gordon surface) i Kunsova zakrpa (Coons patch).
Površi slobodnog oblika se konstruišu na osnovu kriva slobodnog oblika tako da se njihov oblik može veoma lako menjati promenom položaja kontrolnih tačaka ili čvorova.
Oblici matematičkog prikazivanja
Kao i jednačine za krive tako se i jednačine za površi mogu matematički predstaviti eksplicitno, implicitno i parametarski. U zavisnosti od namene svaki oblik ima svoje prednosti i nedostatke.
Eksplicitno
Jednačine za eksplicitno opisivanje površi imaju oblik:
$x=x{\left( {y,z} \right)};\quad y=y{\left( {x,z} \right)};\quad z=z{\left( {x,y} \right)}$
Implicitno
Jednačine za implicitno opisivanje površi imaju oblik:
$F{\left( {x,y,z} \right)}=0$
Parametarski
Parametarsko predstavljanje tj. opisivanje površi zahteva tri jednačine sa dve promenljive (parametra):
$x={F}_{x}{\left( {u,v} \right)};\quad y={F}_{y}{\left( {u,v} \right)};\quad z={F}_{z}{\left( {u,v} \right)}$
Promenljive u i v su parametri koje biramo iz nekog skupa (domena) tj. to su parametri koji se menjaju u određenom opsegu vrednosti - obično je to od 0 do 1. Funkcije Fx, Fy i Fz određuju oblik površi. Vrednosti koordinata x,y,z neke tačke koja leži na površi se izračunavaju uvrštanjem vrednosti parametara u i v u tri navedene jednačine.
U CAD sistemima se u zavisnosti od namene upotrebljavaju sva tri oblika predstavljanja, s tim da se za predstavljanje površi slobodnog oblika uglavnom koristi parametarski oblik.