NURBS površi

Zbog svoje sposobnosti da na uniforman način opiše kako jednostavne tako i složene oblike, NURBS metoda je postala standard u svetu CAD-a i verovatno ne postoji moderni 3D CAD softver u koji ona nije ugrađena. Veliki broj matematičara i programera su razvili brojne algoritme za operacije sa NURBS krivama i površima: spajanje, trimovanje, produžavanje, pronalaženje tačaka preseka, razni načini konstruisanja površi... Naravno, korisnici CAD softvera nemaju direktni kontakt sa ovim algoritmima pošto su oni ugrađeni u jezgra za geometrijsko modeliranje.

Pošto se NURBS metodom mogu opisati kako pravilne analitičke površi tako i zakrivljene sintetičke, ona CAD sistemima nudi unifikovani način smeštanja 3D modela. Zbog velike primene u 3D CAD sistemina ugrađena je i u neutralne CAD formate (STEP i IGES), što omogućava kvalitetnu razmenu podataka ne samo između 3D CAD sistema već i sa ostalim CAx softverima (CAM, CAE, Obrnuti inženjering...).

NURBS metoda omogućava da se površ bilo kakvog oblika predstavi (opiše) samo pomoću sledećih parametara: 

• mreže kontrolnih tačaka u pravcima u i v (položajem i težinom svake kontrolne tačke)

• vektorima čvorova u pravcima u i v

• stepenima u pravcu u i v.

Kontrolne tačke "privlače" površ i na taj način određuju njen oblik, odnosno utiču na njenu zakrivljenost. Stepeni NURBS površi u pravcima u i v određuju glatkoću površi.

NURBS površi su zasnovane na istom konceptu kao i NURBS krive, jedina razlika je što površi imaju dva parametar (u i v), a krive jedan (u) tj. NURBS krive su jednodimenzionalne, a površi dvodimenzionalne.

NURBS površi u suštini predstavljaju mrežu glatko spojenih NURBS kriva koje su raspoređene u pravcima u i v. Parametarska NURBS površ se slično Bezjeovoj ili B-Splajn konstruiše kombinovanjem (množenjem) dve NURBS krive tj. tenzorskim proizvodom njihovih osnovnih funkcija.

Ako imamo:

• mrežu kontrolnih tačaka pi,j  u dva pravca (m+1, n+1), gde je 0≤i≤m i 0≤j≤n

• vektor čvorova h u pravcu u (u=u0, u1,…,up)

• vektor čvorova k u pravcu v (v=v0, v1,…,vq)

• stepen p u pravcu u

• stepen q u pravcu v

Jednačina NURBS površi se onda može napisati u sledećem obliku:

      $P{\left( {u,v} \right)}=\frac{\sum_{i=0}^{m} {\sum_{j=0}^{n} {{p}_{i,j}\ {w}_{i,j}\ {N}_{i,p}{\left( {u} \right)}\ {N}_{j,q}{\left( {{v}} \right)}}}}{\sum_{i=0}^{m} {\sum_{j=0}^{n} {{p}_{ij}\ {N}_{i,p}{\left( {u} \right)}\ {N}_{j,q}{\left( {{v}} \right)}}}}$

${N}_{i,p}{\left( {u} \right)} i {N}_{j,q}{\left( {{v}} \right)}$ su osnovne polinomske funkcije iste kao kod NURBS kriva

Broj elemenata vektora h i k se računaju prema jednačinama h=m+p+1 i k=n+q+1, gde su n i m brojevi kontrolnih tačaka po pravcima u i v, a p i q su stepeni osnovnih funkcija.

Za nas korisnike CAD softvera nisu toliko bitne teorijske priče u vezi NURBS površi već načini kako se one mogu konstruisati u 3D CAD softverima.

Osobine NURBS površi slobodnog oblika:

• preciznost - definisane su preciznim matematičkim jednačinama što kao rezultat daje glatke zakrivljene površi koje su pogodne za veliki broj tehničkih oblasti: vazduhoplovstvo, auto industrija, brodogradnja...

• razvijen veliki broj algoritama za konstruisanje, uređivanje i manipulaciju

• omogućavaju opisivanje veoma složenih oblika sa veoma malo podataka 

• mogu se konstruisati interpolacijom ili aproksimacijom skupa tačaka

• mogu matematički opisati površ bilo kakvog oblika i složenosti, kako analitičke tako i sintetičke 

• stepen nezavisan od broja kontrolnih tačaka

• moguća je lokalna kontrola oblika tj. moguće je promeniti oblik samo jednog dela površi. Npr. ako se promeni položaj neke kontrolne tačke promeniće se samo oblik regiona u njenoj blizini

• sastoje se od segmenata tj. od međusobno spojenih Bezjeovih površi između kojih postoji gladak prelaz tj. kontinuitet zakrivljenosti.

• mogu se konstruisati pomoću koliko god kontrolnih tačaka

• oblik prati kontrolne tačke - površ je raširena između kontrolnih tačaka koje kao da je privlače ka sebi

• kontrolne tačke mogu imati različite težine. Ova osobina daje NURBS metodi mogućnost opisivanja analitičkih površi koje se B-Splajn metodom ne mogu predstaviti

• jednostavna i brza kontrola oblika pomeranjem kontrolnih tačaka ili promenom njihovih težina

• kontrolne tačke ne leže na površi

• ne moraju da prolaze kroz kontrolne tačke na uglovima (p_0,0, p_n,0, p_0,m i p_n,m) kao Bezjeove površi.

• leže unutar konveksnog omotača formiranog od kontrolnih tačaka

• granične krive P(u,0), P(0,v), P(u,1), P(1,v) su NURBS krive

• sve krive kada su u ili v parametri konstantni su NURBS krive

• mogu biti isečene (trimovane) drugim krivama ili površima

• Afina invarijantnost: transformacije (pomeranje, obrtanje i slično pretvaranje (skaliranje)) primenjene na kontrolne tačke imaju isti uticaj i na površ

• omogućavaju UV mapiranje i primenu tekstura

Na osnovu nabrojanih osobina možemo videti da postoji velika sličnost sa B-Splajn površima, što je i logično pošto su NURBS površi vrsta B-Splajn površi.

NURBS metoda ima nekoliko nedostataka koji se uglavnom odnose na poligonalne mreže:

• složena matematika koja stoji iza ove metode otežava njenu ugradnju u softvere, pogotovu ako se uporedi sa poligonalnim mrežama

• modeliranje sa NURBS je mnogo teže od modeliranja sa poligonalnim mrežama

• nedostatak topološke kontrole oblika kao što je to slučaj kod 3D modeliranja. 

• da bi se NURBS površinski modeli koristili u softverima za 3D modeliranje (Blender, 3ds Max, Unity, Unreal Engine...) tj. kreativnu industriju (animacije, igrice...) preporučuje se konverzija NURBS površi u poligonalne mreže.

Ovi nedostaci su delimično rešeni T-Splajn metodom predstavljanja.

Napomenuo bi još jedanput da je tačnost najveća prednost NURBS u odnosu na poligonalne mreže. NURBS metoda ne aproksimira (pravim segmentima ili pljosnima) neki zakrivljeni 2D ili 3D oblik, već opisuje pomoću matematičkih funkcija. Oblik NURBS kriva i površi jeste približan, ali pošto je opisan matematičkim jednačinama on je gladak i precizno matematički određen. Ova osobina je glavni razlog zašto se u tehničkim strukama koriste CAD softveri, a ne softveri za 3D modeliranje.

Zbog brzine proračuna i prikazivanja na ekranu računar može prikazivati NURB krive i površi aproksimativno, ali svi proračuni koje obavlja sa njima će biti obavljeni na osnovu jednačina koje daju kontinualni zakrivljeni glatki oblik.