Analitičke i sintetičke krive

Analitičke krive

Analitičku krivu u ravni ili prostoru možemo definisati kao skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju analitičku jednačinu koja može biti data u eksplicitnom, implicitnom ili parametarskom obliku. U analitičke krive spadaju kružni luk, konusni preseci (kružnica, elipsa, parabola i hiperbola), spirala, cikloida...

Oblik analitičkih kriva zavisi od matematičkih jednačina, ima precizna matematička svojstva i ne može se menjati. Ove krive su pogodne za precizne proračune i geometrijske operacije. Analitičke krive se najviše koriste prilikom modeliranja pomoću tipskih oblika. Pomoću njih se modelira velika većina delova mašina i konstrukcija.

Analitičke krive imaju sledeće osobine:

• lako i precizno računanje tačaka koje pripadaju krivi,

• matematički opis pogodan za obradu u računarima (computer friendly),

• lako određivanje tangente i zakrivljenosti u nekoj tački,

• skladištenje u memoriji računara sa malim brojem parametara,

• jednostavno crtanje na osnovu proračunatih ili uskladištenih podataka,

• jednostavno i brzo uređivanje,

• lako i brzo transformisanje (pomeranje, rotacija, skaliranje...),

• lako određivanje presečnih tačaka sa drugim krivama,

• nisu pogodne za predstavljanje složenih oblika,

• 3D modeli napravljeni pomoću analitičkih kriva ne zauzimaju mnogo prostora, sa njima se lako manipuliše, lako se određuje njihova interakcija sa drugim delovima, lako se na osnovu njih proračunavaju putanje alata, prave ortogonalni pogledi, vrše MKE proračuni... Za neke krive poput spirale ili zavojnice ovo ne važi.

• ...

Sintetičke krive t.j. krive slobodne forme

U slučajevima kada se krive ne mogu predstaviti analitičkim jednačinama, pribegava se predstavljanju pomoću skupa tačaka kroz koje se interpolira ili aproksimira kriva. Ovaj način predstavljanja se zove sintetički. Sintetičke krive se predstavljaju pomoću skupa tačaka povezanih pomoću segmenata. Za predstavljanje sintetičkih kriva se mogu koristiti razne vrste segmenata (duži, konusni preseci, polinomske funkcije…). Vrsta kontinuiteta, odnosno vrsta prelaza između segmenata određuje glatkoću krive.

Krive slobodnog oblika su sintetičke krive koje između tačaka imaju segmente u obliku polinoma. Između polinoma postoji C2, odnosno G2 kontinuitet.

U sintetičke krive spadaju Splajnovi, Bezjeove krive, B-splajn krive, NURBS krive…

Sintetičke krive imaju složeni oblik koji se može lako menjati. Najviše se koriste u površinskim modelarima za modeliranje delova koji imaju složene konture (delovi aviona, brodova, automobila...).

Sintetičke krive imaju sledeće osobine:

• matematički opis pogodan za predstavljanje složenih oblika,

• relativno lako obavljanje proračuna pomoću kojih se određuje oblik krive i elementi krive (tačka na krivi, zakrivljenost, presečna tačka sa drugom krivom...),

• zbog primene interpolacije ili aproksimacije veliki broj elemenata koji se dobijaju proračunima su približni, npr. oblik krive, tačka na krivi, zakrivljenost...,

• laka promena oblika (promenom pozicije kontrolnih tačaka ili čvorova, promenom težine...),

• mogućnost lokalne promene oblika,

• nisu pogodne za prikazivnje pravilnih geometrijskih elemenata (npr. da bi se kvaltetno predstavio krug potrebno je najmanje 32 kontrolne tačke što je mnogostruko veća količina podataka za skladištenje od analitičkog načina (centar i poluprečnik)),

• lako transformisanje (pomeranje, rotacija, skaliranje...),

• ...