84. U § 37 razmotrena je osna simetrija slika. Na osnovu osobina paralelnih pravih može da se prouči simetrija dve jednake slike, dve jednake duži ili dve tačke prema tački u istoj ravni.
Za dve tačke A i A' (sl. 91) kaže se da su simetrične prema tački O ako leže na istoj pravoj s tačkom O i ako su podjednako udaljene od te tačke.
Da se konstruiše tačka simetrična datoj tački A prema drugoj tački O treba spojiti pravom tačke A i O i na njeno produženje preneti duž OA'=OA tako da tačka A' bude s druge strane tačke O. Tačka A' je tražena simetrična tačka.
85. Teorema. Ako se za dve tačke (A i B) ma koje prave (AB) konstruišu simetrične tačke (A' i B') prema nekoj tački O, onda:
prave AB i A'B' su paralelne, a duž AB jednaka je duži A'B'.
svakoj tački date prave (AB) odgovara po jedna simetrična tačka konstruisane prave (A'B').
Dokaz:
Trouglovi AOB i A'OB' (sl. 92) jesu podudarni trouglovi pošto su AO=A'O, BO=B'O i ∢AOB=∢A'OB' (kao unakrsni). Iz podudarnosti trouglova sleduje: AB=A'B' i ∢OAB=∢OA'B'; znači, AB||A'B' (§ 73, 2 slučaj).
Uzmimo na pravoj AB ma koju tačku D (sl. 92). Povucimo pravu DO i produžimo je do preseka sa A'B' u nekoj tački D'. Trouglovi AOD i A'OD' su podudarni pošto su im AO=A'O, ∢1=∢2 (kao naizmenični) i ∢3=∢4 (kao unakrsni). Iz podudarnosti trouglova sleduje da je OD=OD'; prema tome su tačke D i D' simetrične prema tački O.
86. Simetrične slike. Dve slike su simetrične prema datoj tački O ako svakoj tački jedne slike odgovara po jedna simetrična tačka druge slike.
Tačka O zove se centar simetrije datih slika. Sama simetrija se zove centrična za razliku od osne koju smo proučavali ranije (§ 37). Ako svakoj tački date slike odgovara po jedna simetrična tačka iste slike (prema nekom centru), onda se kaže da data slika ima centar simetrije. Kao primer takve slike služi nam krug. Centar simetrije leži u centru kruga.
Svaka slika može obrtanjem oko centra simetrije da se dovede do poklapanja sa njoj simetričnom slikom. Uzmimo, na primer, dva trougla ABC i A'B'C' (sl. 93) simetrična prema centru O. Celu sliku OABC, ne izvodeći je iz ravni, obrćemo oko tačke O kao oko centra, dok prava OA ne poklopi OA'. Pošto cy ∢1=∢2 i ∢3=∢4, prava OB pašće na OB', a OC na OC'. Zbog jednakosti OA sa OA', OB sa OB' i OC sa OC' tačke A, B i C poklapaju se sa odgovarajućim tačkama A', B' i C'. Prema tome trougao ABC potpuno poklapa A'B'C'.
Očevidno je da pri takvom obrtanju svaka od pravih OA, OB i OC, a isto tako svaka strana trougla ABC, ima da se obrne za 180°. Ako slika ima centar simetrije, onda će ona posle obrtanja za 180° oko centra poklopiti sebe samu.
Napomena. Pri obrtanju, koje smo izvršili radi poklapanja trouglova ABC i A'B'C', trougao ABC klizi po ravni. Na taj način slike simetrične prema nekom centru mogu se dovesti do poklapanja bez izvođenja njih iz ravni. Ovim se centrična simetrija bitno razlikuje od osne (§ 57) kod koje je pre poklapanja simetričnih slika neophodno potrebno jednu od njih okrenuti na drugu stranu.
Centrična simetrija slika, kao i osna, veoma je česta pojava u prirodi i u svakidašnjem životu. Na slici 94 predstavljen je propeler aeroplana. On ima centar simetrije u tački O.
Na slici 95 vidimo snežnu pahuljicu koja takođe ima centar simetrije.
