87. Paralelogram. Četvorougao kod koga su dve i dve strane paralelne zove se paralelogram. Takav se četvorougao (ABCD, sl. 96) dobija kada se dve paralelne prave KL i MN preseku drugim dvema paralelnim pravama RS i PQ.
88. Teorema (koja izražava osobine strana i uglova).
U svakom paralelogramu suprotne strane su jednake, suprotni uglovi su jednaki, a zbir uglova koju leže na istoj strani iznosi 2d (sl. 97).
Povucimo dijagonalu BD, dobijemo dva trougla ABD i BCD koji su podudarni, pošto imaju zajedničku stranu AD, ∢1=∢4 i ∢2=∢3 (kao naizmenični).
Iz podudarnosti trouglova sleduje: AB=CD, AD=BC i ∢A=∢C. Suprotni uglovi B i D takođe su jednaki jer su sastavljeni od jednakih uglova.
Uglovi koji leže na jednoj strani, na primer A i D, daju zbir 2d kao unutrašnji suprotni uglovi.
Napomena. Jednakost suprotnih strana u paralelogramu može da se kratko izrazi ovim rečima: odsečci paralelnih između paralelnih jednaki su.
Posledica: Ako su dve prave paralelne, onda su sve tačke svake od njih podjednako udaljene od druge paralelne prave; kratko rečeno: paralelne prave (AB i CD, sl. 98) svuda su podjednako udaljene jedna od druge.
Ako se iz ma koje dve tačke M i N prave CD spuste na AB normale MR i NQ, onda će normale biti paralelne (§ 71) i prema tome slika MNQP - paralelogram; odatle sleduje da MP=NQ, odnosno da su tačke M i N podjednako udaljene od AB.
89. Dva pravila za raspoznavanje paralelograma
Teorema. Ako su u ispupčenom četvorouglu:
dve i dve suprotne strane jednake ili
dve suprošne strane paralelne i jednake, onda je četvorougao paralelogram.
Neka je u četvorouglu ABCD (sl. 99) AB=CD i BC=AD. Treba dokazati da je četvorougao paralelogram, tj. da je AB∥CD i BC=AD.
Povlačenjem dijagonale BD dobijamo dva trougla koji su podudarni jer im je BD zajednička strana, AB=CD i BC=AD (po pogodbi). Iz podudarnosti trouglova sleduje da je ∢1=∢4 i ∢2=∢3; prema tome AB∥CD i BC∥AD (kada su naizmenični uglovi jednaki, prave su paralelne).
Neka je u četvorouglu (ABCD, sl. 99) dato: BC∥AD i BC=AD. Treba dokazati da je četvorougao paralelogram, odnosno da je AB∥CD. Trouglovi ABD i BCD jesu podudarni jer im je BD zajednička strana, BC=AD i ∢2=∢3 (kao naizmenični uglovi). Iz podudarnosti trouglova sleduje da je ∢2=∢4, a to znači da je AB∥CD.
90. Teorema. (koja se odnosi na osobinu dijagonala u paralelogramu). U paralelogramu (ABCD, sl. 100) dijagonale se uzajamno polove.
Obrnuto: Ako se u četvorouglu dijagonale uzajamno polove onda je četvorougao paralelogram.
Trouglovi BOC i AOD su podudarni pošto su im: BC=AD (kao suprotne strane u paralelogramu), ∢1=∢2 i ∢3=∢4 (kao naizmenični). Iz podudarnosti trouglova sleduje: OC=OA i OB=OD.
Ako je OC=OA i OB=OD, onda su trouglovi AOD i BOC podudarni (imaju po dve strane i zahvaćene uglove jednake). Iz podudarnosti trouglova sleduje da ∢1=∢2 i ∢3=∢4 Prema tome, BC∥AD (zbog jednakosti naizmeničnih uglova) i BC=AD; četvorougao ABCD je paralelogram.
91. Centar simetrije u paralelogramu. Paralelogram ima centar simetrije i to u preseku dijagonala (sl. 100).
Pošto su BO=OD i OC=OA, onda su duži BC i AD simetrične prema tački O i svakoj tački R duži BC odgovara po jedna simetrična tačka Q duži AD (§ 85).
Isto tako možemo da se uverimo da su i duži AB i CD simetrične prema tački O. Ako paralelogram obrnemo oko presečne tačke dijagonala za 180°, onda se dobijeni položaj poklapa sa prvobitnim. Svako paralelogramovo teme promeniće svoje mesto sa suprotnim temenom (na sl. 100 A sa C i B sa D).