81. Teorema. Zbir uglova u trouglu iznosi 2d.
Neka je ABC (sl. 86) dati trougao; treba dokazati da je zbir uglova A, B i C jednak 2d, odnosno 180°.
Produžimo stranu AC i povucimo CE||AB; tada ćemo dobiti: ∢A=∢ECD (kao saglasni uglovi), ∢B=∢BCE (kao naizmenični); prema tome;
∢A+∢B+∢C=∢ECD+∢BCE+∢C=2d=180°
Posledice.
Svaki spoljašnji ugao u trouglu jednak je zbiru dva nenalegla unutrašnja ugla, na primer:
∢BCD=∢A+∢B.
Ako trouglovi imaju po dva odgovarajuća ugla jednaka, onda su im treći uglovi jednaki.
Zbir oba oštra ugla u pravouglom trouglu iznosi 90°,
U ravnokrakom pravouglom trouglu svaki oštar ugao iznosi ½d, ili 45°.
U ravnostranom trouglu svaki ugao iznosi ⅔d ili 60°.
Ako u pravouglom trouglu ABC (sl. 87) jedan oštar ugao iznosi 30° (na primer ugao B), onda je suprotna kateta polovina hipotenuze.
Drugi oštar ugao u trouglu ima 60°. Uz naš trougao ABC konstruišimo drugi trougao ABD podudaran s datim trouglom. Tada ćemo dobiti ravnostrani trougao DBC (§ 47) i stoga DC=BC. Ali AC=½DC; znači, AC=½BC.
Neka učenici dokažu obrnutu teoremu: Ako je kateta polovina hipotenuze, onda joj suprotni ugao iznosi 30°.
82. Teorema. Zbir uglova ispupčenog mnogougla koji ima n strana iznosi 2d (n-2).
Uzmimo u unutrašnjosti mnogougla (sl. 88) proizvoljnu tačku O i spojimo je sa svima temenima. Tada će mnogougao biti podeljen na onoliko trouglova, koliko ima strana.
Zbir uglova u svakom trouglu iznosi 2d; prema tome zbir uglova u svima trouglovima biće 2dn, ako mnogougao ima n strana. Ali je ova količina, očigledno, veća od zbira mnogouglovih uglova za zbir uglova raspoređenih oko tačke O, a koji iznosi 4d; znači, zbir uglova u mnogouglu jednak je:
2dn-4d=2d(n-2)=180°(n-2)
Napomena. Ova teorema može da se dokaže i na drugi način. Iz jednog temena ma koga ispupčenog mnogougla povucimo njegove dijagonale (sl. 89). Tada će mnogougao biti podeljen na onoliko trouglova, koliko mnogougao ima strana manje dva. Ako ne računamo dve strane koje čine ugao iz čijeg se temena povlače dijagonale, onda na svaku od ostalih strana dolazi po jedan trougao. Prema tome njihov broj biće n-2, gde je n broj mnogouglovih strana. Kako je zbir uglova u jednom trouglu 2d, onda će u svima trouglovima biti 2d(n-2), što predstavlja i zbir svih uglova u mnogouglu.
Napomena. Dokazana teorema tačna je i za izdubljene mnogouglove. Ako se u unutrašnjosti mnogougla može naći takva tačka da sve duži koje spajaju tačku sa svima mnogouglovim temenima leže u unutrašnjosti mnogougla, onda izlaganje dokaza teoreme ostaje potpuno isto kao i za ispupčeni mnogougao. U slučaju da takve tačke nema, treba mnogougao dijagonalama podeliti na ispupčene mnogouglove i izračunati zbir uglova u svakom od njih, pa dobijene zbirove sabrati. Kao rezultat dobićemo isti obrazac 2dn-4d.
Ovaj račun neka izvrši sam čitalac.
83. Teorema. Ako se svaka strana ispupčenog mnogougla produži preko temena ugla, onda će zbir svih dobijenih spoljašnjih uglova biti 4d (nezavisno od broja strana u mnogouglu).
Svaki spoljašnji ugao (sl. 90) dopunjuje uporedni unutrašnji ugao do 2d; prema tome zbir svih spoljašnjih i unutrašnjih uglova iznosi 2dn (n - broj strana); zbir unutrašnjih uglova je 2dn-4d; zbir spoljašnjih uglova biće jednak razlici: 2dn-(2dn-4d)=2dn-2dn+4d=4d=360°.