53. Teorema. Normala spuštena iz ma koje tačke na pravu kraća je od svake kose povučene iz iste tačke na pravu.
Napomena: U §53, 54 i 55 pod normalom se podrazumeva odsečak normale od date tačke do njenog podnožja; kosa duž je ograničena datom tačkom i podnožnom tačkom kose prave.
Neka je AB (sl. 58) normala spuštena iz tačke A na pravu MN, a AC ma koja kosa duž povučena iz iste tačke prema pravoj MN; treba dokazati da je AB<AC. U △ABC ugao B je prav, a ugao C oštar (§ 45); znači, ∢C<∢B i stoga je AB<AC.
Napomena. Kada se kaže: „otstojanje tačke od prave“, onda se podrazumeva najkraće otstojanje koje se meri normalom spuštenom na pravu iz tačke.
54. Teorema. Ako se iz jedne tačke van prave povuku prema njoj normala i više kosih duži, onda su:
kose duži jednake, ako su njihove podnožne tačke podjednako udaljene od podnožja normale;
kose duži nejednake, ako njihove podnožne tačke nisu podjednako udaljene od podnožja normale; veća je ona duž čija je podnožna tačka više udaljena od podnožja normale.
1) Neka AC i AD (sl. 59) budu dve kose duži povučene iz tačke A na pravu MN, čije su podnožne tačke C i D podjednako udaljene od podnožja normale AB, tj. CB=BD; treba dokazati da je AC=AD. Trouglovi ABC i ABD jesu podudarni, jer im je AB zajednička strana, BC=BD (po pretpostavci) i ∢ABC=∢ABD (kao pravi uglovi); prema tome AC=AD.
2) Neka su AC i AE (sl. 59) dve kose duži povučene iz tačke A na pravu MN, čije podnožne tačke nisu podjednako udaljene od podnožja normale; na primer, neka je BE>BC. Dokazati da je AE>AC.
Uzmimo BD=BC i povucimo AD; onda će duž AD biti jednaka duži AC. Uporedimo AE sa AD. Ugao ADE je spoljašnj u △ABD i kao takav je veći od pravog ugla ABD; prema tom ugao ADE je tup, a ugao AED mora da bude oštar (§45); znači ∢ADE>∢AED i AE mora da bude veća od AD ili AE>AC.
55. Obrnute teoreme. Ako se iz jedne tačke van prave (sl. 59) povuku normala i više kosih duži, onda:
1) podnožne tačke kosih duži su podjednako udaljene od podnožja normale, ako su koce duži jednake:
2) ako dve koce duži nisu jednake, onda je podnožna tačka veće od njih više udaljena od podnožja normale.
Neka učenici sami dokažu ove teoreme (primenom indirektnog dokaza).