Uglovi - Prethodni pojmovi

Poluprave koje čine ugao zovu se strane (kraci), a tačka iz koje one polaze - teme ugla. Strane treba predstaviti da su neograničeno produžene od temena.

Ugao se obično obeležava sa tri velika slova, od kojih se srednje stavlja kod temena, a krajnja u kakvim bilo tačkama strana; na primer, kaže se: „ugao AOB“ ili „ugao BOA“ (sl. 9). Ali se ugao može obeležiti i jednim slovom kod temena, ako u istom temenu nema drugih uglova. Ponekad ćemo ugao obeležavati cifrom koja se stavlja u unutrašnjosti ugla kod temena.

Strane ugla dele ravan, u kojoj leži ugao, na dve oblasti. Jedna od njih se zove unutrašnja oblast ugla, a druga - spoljašnja oblast ugla. Obično se za unutrašnju oblast smatra ona u kojoj se celom svojom dužinom nalazi duž što spaja tačke na stranama ugla, na primer, tačke A i B na stranama ugla AOB (sl. 9). Ali se često za unutrašnju oblast ugla uzima drugi deo ravni. U ovakvim slučajevima obično se daje specijalno uputstvo koji deo ravni ima da se smatra  unutrašnjom oblašću ugla.

Na sl. 10 predstavljena su odvojeno oba slučaja. Unutrašnja oblast ugla je onaj deo ravni koji je osenčen.

Ako iz temena ugla (sl. 9) povučemo u njegovoj unutrašnjosti prave OD, OE..., onda se dobiveni uglovi AOD, DOE, EOB... imaju smatrati kao delovi ugla AOB.

Reč „ugao“ pri pisanju često se zamenjuje znakom ∢ ili ∠. Na primer, umesto „ugao AOB“ piše se: ∢AOB.

14. Jednakost i nejednakost uglova

U vezi sa opštom definicijom jednakosti geometrijskih oblika (§ .1) dva ugla se smatraju jednakim ako se mogu poklopiti. Pretpostavimo, na primer, da smo ugao AOB položili na ugao A₁O₁B₁ (sl. 11) tako, da teme O poklapa O₁, i da je strana OB poklopila stranu O₁B₁ i da se unutrašnje oblasti obadva ugla nalaze na jednoj strani od prave O₁B₁. Ako pri ovome strana OA poklopi O₁A₁, onda su uglovi jednaki; ako pak strana OA padne u unutrašnjosti ugla A₁O₁B₁ ili van njega, onda su uglovi nejednaki i manji je onaj koji čini jedan deo drugoga.

15. Zbir uglova

Zbir uglova AOB i A₁O₁B₁ (sl. 12) je ugao koji se dobija na sledeći način: konstruišemo ugao MNP, jednak prvom datom uglu AOB i njemu dodamo ugao PNQ, jednak drugom datom uglu A₁O₁B₁, tako da oba ugla imaju zajedničko teme N i zajedničku stranu NP i da unutrašnje oblasti obadva ugla budu raspoređene na raznim stranama od zajedničke strane NP. Tada će MNQ pretstavljati zbir uglova AOB i A₁O₁B₁.

Kao unutrašnja oblast ovoga ugla služi ona oblast ravni koja je sastavljena od unutrašnjih oblasti uglova koji se sabiraju. To je oblast u kojoj leži zajednička strana (NP). Na isti način može da se konstruiše i zbir tri i više uglova.

Zbir uglova, kao i zbir duži, ima permutativne i asocijativne osobine.

Često puta se govori o polupravoj koja polovi ugao; takva poluprava se zove simetrala ugla (bisektrisa) (sl. 13).

16. Proširenje pojma o uglu

Pri iznalaženju zbira uglova mogu da se pojave naročiti slučajevi koje je korisno posebno proučiti. 

1. Može se desiti da će posle sabiranja nekoliko uglova, na primer: AOB, BOC i COD (sl. 14), strana OD ugla COD biti produžetak strane OA ugla AOB. Mi ćemo tada dobiti geometrijski oblik sastavljen dvema polupravama koje polaze iz jedne tačke (O) i koje su produžetak jedna druge. Takav geometrijski oblik takođe se zove ugao (ravan ugao  ili opruženi ugao).

2. Može se desiti da će se posle sabiranja nekoliko uglova, na primer: AOB, BOC, COD, DOE i EOA (sl. 15), strana OA, ugla EOA poklopiti sa stranom OA ugla AOB.

Geometrijski oblik, sastavljen takvim polupravama koje se poklapaju (zajedno sa ravnom površinom koja se nalazi oko zajedničkog temena O), takođe se naziva ugao (pun ugao).

Najzad, može se desiti da ćemo, pri konstrukciji zbira uglova, ne samo ispuniti celu ravnu površinu oko njihovog zajedničkog temena, već ćemo biti primorani de polažemo uglove jedan na drugi, pokrivajući ravan oko zajedničkog temena po drugi, treći put itd.

Zbir uglova u ovome slučaju jednak je jednom punom uglu, sabranom sa nekim uglom, ili iznosi dva puna ugla sabrana sa nekim uglom, itd .