Uglovi sa uzajamno paralelnim ili normalnim stranama

Razmotrimo posebno tri sledeća slučaja (sl. 84).

1. Neka su strane ugla 1 paralelne u istom smislu sa stranama ugla 2 (smisao je na slici obeležen strelicom). Produžujemo jednu stranu ugla 2 do preseka s neparalelnom joj stranom ugla 1; dobijamo ugao 3 koji je jednak sa uglovima 1 i 2 (kao saglasni); prema tome ∢1=∢2.

2. Neka su strane ugla 1 paralelne u suprotnom smislu prema stranama ugla 4. Produženjem obeju strana ugla 4 dobijamo ugao 2 koji je jednak uglu 1 i 4 (kao unakrsni); prema tome, ∢4 = ∢1.

3. Najzad, neka su dve strane ugla 1 i 5 ili 6 paralelne u istom, a dve druge u suprotnom smislu. Produženjem jedne strane ugla 5 ili 6 dobijamo ugao 2, koji je jednak uglu 1; ali pošto je ∢5 (ili ∢6)+∢2=2d (kao uporedni), onda će biti ∢5 (ili ∢6)+∢1=2d.

Prema tome uglovi sa uzajamno paralelnim stranama su jednaki ako su im strane u istom ili suprotnom smislu paralelne; ako ovaj uslov nije ispunjen, onda je zbir uglova 2d.

Napomena. Moglo bi se reći da su uglovi s paralelnim stranama jednaki ako su oba oštra ili tupa. Ali može da se desi da je teško odrediti da li su uglovi oštri ili tupi, stoga je sigurnije uporediti smisao njihovih strana.

80. Teorema. Ako su strane jednog ugla normalne prema stranama drugog ugla, onda su uglovi jednaki ili njihov zbir iznosi dva prava ugla.

Neka je ugao ABC (obeležen na sl. 85 cifrom 1) jedan od datih uglova; za drugi uzmimo jedan od uglova 2, 3, 4 ili 5 u preseku dve prave od kojih je jedna normalna na AB, a druga na AC (njihovo teme se nalazi u ma kojoj tački ravni). Povucimo iz temena ugla 1 dve pomoćne prave: BD⊥AC i BE⊥BA. Ugao 6 koji one grade jednak je uglu 1 pošto i jedan i drugi dopunjuju ugao EBC do pravog ugla (DBC ili EBA). Pošto su strane ugla 6 uzajamno paralelne stranama uglova 2, 3, 4 ili 5 (dve normale prema jednoj pravoj paralelne su, § 71), onda su ti uglovi jednaki uglu 6 ili čine sa njim zbir 2d. Zamenom ugla 6 uglom 1 dokazujemo tačnost naše teoreme.