Dokazati teoreme:
Spajanjem sredina strana ma koga četvorougla dobija se paralelogram.
U pravouglom trouglu srednja linija povučena prema hipotenuzi jednaka je njenoj polovini.
Uputstvo: Treba produžiti srednju liniju za njenu dužinu.
Obrnuto: ako je srednja linija u trouglu jednaka polovini odgovarajuće strane, trougao će biti pravougli.
U pravouglom trouglu srednja linija i visina povučene prema hipotenuzi grade ugao koji je jednak razlici oba oštra ugla u trouglu.
Uputstvo: Vidi zadatak 2.
U trouglu ABC simetrala ugla A seče stranu BC u tački D; prava povučena iz D paralelno CA seče stranu AB u tački E, a prava povučena iz E paralelno BC seče AC u tački F. Dokazati da je EA=FC.
U unutrašnjosti datog ugla konstruisan je drugi ugao, tako da su njegove strane paralelne stranama datog ugla i podjednako udaljene od njih. Dokazati da simetrala konstruisanog ugla leži na simetrali datog ugla
Dokazati da srednja linija u trapezu polovi svaku pravu koja spaja ma koju tačku donje osnovice s ma kojom tačkom gornje osnovice.
U trouglu kroz presečnu tačku simetrala uglova na osnovici povučena je prava paralelna njoj. Dokazati da je odsečak te prave između bočnih strana jednak zbiru odsečaka bočnih strana računajući ih od osnovice.
Kroz temena jednog trougla povučene su prave paralelno suprotnim stranama. Pokazati da se dobijeni trougao sastoji iz četiri trougla jednaka s datim i da je svaka njegova strana dvaput veća od odgovarajuće strane datog trougla.
U ravnokrakom trouglu zbir otstojanja svake tačke osnovice od krakova je stalna količina, jednaka visini koja je spuštena na krak (bočnoj visini).
Kako će se izmeniti ova teorema ako se tačka uzme na produženju osnovice?
U ravnostranom trouglu zbir otstojanja ma koje tačke u unutrašnosti trougla od trouglovih strana je stalna količina, jednaka trouglovoj visini.
Svaki paralelogram s jednakim dijagonalama jeste pravougaonik.
Svaki paralelogram s uzajamno normalnim dijagonalama jeste romb.
Svaki paralelogram kod koga su dijagonale simetrale uglova jeste romb.
Iz presečne tačke dijagonala u rombu spuštene su normale na njegove strane. Pokazati da su podnožja normala temena jednoga pravougaonika. Uputstvo: Vidi zadatak 13.
Simetrale uglova u pravougaoniku čine kvadrat.
Neka su A', B', C' i D' sredine strana CD, DA, AB i BC u kvadratu. Dokazati da odsečci AA', BB', CC' i DD' u preseku daju kvadrat čija je strana jednaka 2/5 dužine ma koga od ovih odsečaka.
Dat je kvadrat ABCD. Na njegovim stranama uzete su jednake duži: AA1, BB1, CC1 i DD1. Dokazati da je četvorougao A1B1C1D1 kvadrat.
Ako se sredine strana ma koga četvorougla uzmu kao temena novog četvorougla, poslednji će biti paralelogram. Odrediti pod kojim će uslovima taj paralelogram biti: 1) pravougaonik, 2) romb, 3) kvadrat.
Naći geometrijska mesta
Sredina svih duži povučenih iz date tačke prema raznim tačkama date prave.
Tačaka podjednako udaljenih od dve paralelne prave.
Temena trouglova koji imaju zajedničku osnovicu i jednake visine.
Konstruktivni zadaci
Data su dva ugla jednoga trougla; konstruisati treći.
Dat je jedan oštar ugao pravouglog trougla; konstruisati drugi oštar ugao.
Povući pravu paralelnu datoj pravoj, kada je poznata udaljenost jedne od druge.
Konstruisati simetralu ugla čije se teme ne nalazi na slici.
Kroz datu tačku povući pravu pod datim uglom prema datoj pravoj.
Date su dve prave XY i X'Y' i tačka P; povući kroz ovu tačku sečicu, tako da tačka P polovi njen deo između datih pravih.
Kroz datu tačku povući pravu, tako da njen odsečak između dve date paralelne prave bude jednak datoj duži.
Između strana jednog oštrog ugla konstruisati duž date dužine, tako da bude normalna prema jednoj strani ugla.
Između strana datog ugla konstruisati duž određene dužine paralelno datoj pravoj, koja seče obe strane ugla.
Između strana datog ugla konstruisati duž određene dužine, tako da pravi jednake odsečke na stranama ugla.
Konstruisati pravougli trougao kad je poznat jedan oštar ugao i suprotna kateta.
Konstruisati trougao kada su poznate dve strane i ugao naspram jedne od njih.
Konstruisati ravnokpaki trougao kad je data osnovica i ugao pri vrhu.
Isto - kad je poznat ugao na osnovici i bočna visina.
Isto - kad je poznat krak i visina koja mu odgovara.
Konstruisati ravnostrani trougao kad je data njegova visina.
Podeliti prav ugao na tri jednaka dela (drugim rečima, konstruisati ugao od 30°).
Konstruisati trougao kad je data osnovica, visina i jedna bočna strana.
Isto - kad je data osnovica, visina i ugao na osnovici.
Isto - kad je dat jedan ugao i visine spuštene na strane toga ugla.
Isto - kad je data jedna strana, zbir dve druge strane i visina koja odgovara jednoj od njih.
Isto - kad je data visina, obim i ugao na osnovici.
U trouglu povući pravu paralelno osnovici, tako da njen odsečak između bočnih strana bude jednak zbiru odsečaka tih strana računajući od osnovice.
Konstruisati mnogougao podudaran datom mnogouglu.
Uputstvo. Podeliti mnogougao dijagonalama na trouglove
Konstruisati četvorougao kad je dato: tri ugla i dve strane koje zahvataju četvrti ugao.
Uputstvo. Treba naći četvrti ugao.
Isto - kad su date tri strane i obe dijagonale.
Konstruisati paralelogram kad su date nejednake strane i jedna dijagonala.
Isto - kad su date dijagonale i jedna strana.
Isto - kad su date dijagonale i zahvaćeni ugao.
Isto - kad je data osnovica, visina i jedna dijagonala.
Konstruisati pravougaonik kad je data dijagonala i ugao između dijagonala.
Konstruisati romb kad je data strana i dijagonala.
Isto - obe dijagonale.
Isto - visina i dijagonala.
Isto - ugao i dijagonala povučena iz temena toga ugla.
Isto - dijagonala i suprotan ugao.
Isto - zbir dijagonala i ugao između strane i dijagonale.
Konstruisati kvadrat kad je data dijagonala.
Konstruisati trapez kad je data osnovica, nalegli ugao i kraci (dva rešenja, jedno ili nijedno).
Isto - razlika osnovica, oba kraka i jedna dijagonala.
Isto - sve četiri strane (da li je zadatak uvek mogućan?).
Isto - osnovica, visina i obe dijagonale (kada je zadatak mogućan?).
Isto obe osnovice i dijagonale (kada je zadatak mogućan?).
Konstruisati kvadrat kad je dat zbir strane i dijagonale.
Isto - razlika dijagonale i strane.
Konstruisati paralelogram kad su date dijagonale i visina.
Isto - strana, zbir dijagonala i ugao između njih.
Konstruisati trougao kad su date dve strane i srednja linija prema trećoj strani.
Isto - osnovica, visina i srednja linija prema bočnoj strani.
Konstruisati pravougli trougao kada je data hipotenuza i zbir kateta (diskusija).
Isto - hipotenuza i razlika kateta.
Date su dve tačke A i B s iste strane prave XY. Naći na ovoj pravoj duž MN date dužine l, tako da izlomljena linija AM+MN+NB bude najkraća.
Uputstvo. Tačku B pomeriti ka tački A po pravoj paralelnoj XY na otstojanje jednako MN.