61. Prethodna napomena. Na osnovu teorema iz prethodnih paragrafa mogu se rešavati razni konstruktivni zadaci.
Napominje se da se elementarna geometrija bavi samo takvim konstrukcijama koje se mogu izvršiti pomoću lenjira i šestara. Upotreba trougaonika i nekih drugih sprava dopušta se samo radi dobijanja u vremenu, ali one nisu neophodno potrebne.
62. Zadatak 1. Konstruisati trougao kad su date njegove strane a, b, c (Sl. 65).
Treba na pravu MN preneti duž CB jednaku jednoj od datih strana, na primer a. Zatim opisujemo dva luka, iz tačaka C i B, jedan otvorom šestara strane b, a drugi - strane s. Presečnu tačku A lukova spajamo sa B i C. Dobijamo traženi △ABC.
Napomena. Da bi konstrukcija bila mogućna, potrebno je da najveća od datih duži bude manja od zbira dve druge (§ 50).
63. Zadatak 2. Konstruisati ugao jednak datome uglu ABC, tako da jedna njegova strana bude data prava, a teme u datoj tački (tačka O na pravoj MN, sl. 66).
Proizvoljnim otvorom šestara opisujemo luk EF između strana datog ugla; zatim istim otvorom opisujemo luk PQ iz tačke O. Zatim iz tačke R opisujemo luk ab otvorom šestara dužine EF i spajamo tačke O i R (presek lukova). Ugao ROP jednak je uglu ABC, pošto su trouglovi ROP i FBE podudarni (imaju jednake strane).
64. Zadatak 3. Prepoloviti ugao ABC, odnosno konstruisaši njegovu simetralu (sl. 67).
Iz temena ugla B opišimo proizvoljnim otvorom šestara luk DE između njegovih strana. Zatim, proizvoljnim otvorom šestara, ali većim od polovine otstojanja ED (vidi napomen zadatka 1) opišimo lukove iz tačaka D i E. Spajanjem njihovog preseka F s temenom B dobijamo simetralu ugla ABC.
Radi dokaza spajamo tačku F s tačkom D i E; dobijeni trouglovi BEF i BDF su podudarni pošto im je BF zajednička strana, BD=BE i DF-EF po konstrukciji. Iz podudarnosti trouglova sleduje: ∢ABF=∢CBF.
65. Zadatak 4. Iz date tačke C prave AB podići normalu prema pravoj (sl. 68).
Na pravu AB s jedne i s druge strane od tačke C prenesimo jednake duži (proizvoljne dužine) CD i CE. Iz tačaka E i D proizvoljnim otvorom šestara (većim od CD) opišimo dva luka koji se seku u tački F. Prava povučena kroz tačke C i F je normala na AB.
Kao što se vidi iz konstrukcije, tačka F je podjednako udaljena od tačaka D i E; prema tome ona leži na simetrali duži DE (§ 58); sredina duži je tačka C, a kroz tačke C i F može da se povuče samo jedna prava; znači FC⊥DE.
66. Zadatak 5. Iz daše tačke A spustiti normalu na datu pravu BC (sl. 69).
Iz tačke A proizvoljnim otvorom šestara (ali većim od otstojanja tačke A do BC) opišimo luk koji seče DC u tačkama D i E. Iz ovih tačaka proizvoljnim otvorom šestara (ali većim od polovine DE) opišimo dva mala luka koji se seku u tački F. Prava AF je tražena normala. Kao što se vidi iz konstrukcije, svaka od tačaka A i E podjednako je udaljena od D i E, a takve tačke leže na simetrali duži DE (§ 58).
67. Zadatak 6. Konstruisati simetralu date duži (AB) (sl. 70).
Iz tačaka A i B proizvoljnim otvorom šestara (većim od polovine AB) opišimo dva luka koji se seku u tačkama C i D. Prava CD je simetrala duži. Kao što se vidi iz konstrukcije, svaka od tačaka C i D podjednako je udaljena od A i B; prema tome ove tačke leže na simetrali duži AB.
Zadatak 7. Prepoloviti datu duž (sl. 70). Konstrukcija kao i u prethodnom zadatku.
68. Primer složenijeg zadatka. Pomoću osnovnih zadataka mogu se rešavati složeni zadaci. Кao primer rešićemo sledeći zadatak:
Zadatak. Konstruisati trougao kad mu je poznata osnovica b, nalegli ugao a i zbir Ѕ dve bočne strane (sl. 71).
Da bi se napravio plan rešavanja zadatka, pretpostavimo da je zadatak rešen i da je trougao ABC traženi trougao, čija je osnovica AC=b, ∢A=a i AB+BC=S. Proučimo sada dobijeni crtež.
Stranu AC=b i ∢A=a možemo da konstruišemo. Ostaje samo na drugoj strani ugla A naći tačku B tako da AB+BC=S. Produžimo stranu AB i prenesimo AD=S. Sada na duži AD treba da se nađe tačka B podjednako udaljena od C i D. Takva tačka, kao što znamo, leži na simetrali duži CD (§ 58). Tačka B je presek simetrale i duži AD.
Došli smo do sledećeg rešenja zadatka: konstruišimo (sl. 71) ugao A jednak uglu a; na njegove strane prenosimo duži AC=b i AD=S i spojimo tačke B i C. Konstruišimo simetralu duži CD i produžimo je do preseka s AD u tački B; tačku B spajamo s tačkom C. △ABC je traženi trougao, pošto zadovoljava uslov zadatka: AC=b, ∢A=a i AB+BC=S (pošto je BD=BC).
Ispitujući konstrukciju vidimo da je zadatak mogućan samo pod izvesnom pogodbom. Može se desiti (ako je zbir Ѕ suviše mali kad se uporedi sa b) da simetrala CB ne seče duž AD ili seče njeno produženje iza tačke A ili tačke D. U takvom slučaju zadatak bi bio nemogućan. I nezavisno od konstrukcije vidi se da je zadatak nemogućan ako je S<b ili S=b, jer u trouglu zbir dveju strana ne može da bude manji ili jednak trećoj strani. U slučaju kada je zadatak mogućan, on ima samo jedno rešenje, tj. postoji samo jedan trougao koji zadovoljava uslov, pošto normala BE može preseći pravu AD samo u jednoj tački.
69. Napomena. Iz navedenog primera se vidi da se rešavanje složenoga konstruktivnog zadatka sastoji iz sledeća četiri dela:
Pretpostavlja se da je zadatak rešen; pravi se približan crtež tražene slike, a zatim se pažljivo proučava nacrtana slika, kako bi se našli odnosi između podataka zadatka i traženih količina koji bi omogućili da se zadatak svede na zadatke poznate od ranije. Ovaj najvažniji deo rešavanja zadatka koji ima za cilj da se izradi plan rešavanja, zove se analiza (ispitivanje).
Kada je plan gotov, onda se prema njemu izvršuje konstrukcija.
Radi kontrole pravilnosti plana dokazuje se zatim, na osnovu poznatih teorema, da dobijena slika zadovoljava sve uslove zadataka. Ovaj deo zove se sinteza (dokaz).
Najzad se ispituje da li je zadatak uvek mogućan, da li ima jedno ili više rešenja i da li se u zadatku pojavljuju neki naročiti slučajevi koji konstrukciju čine prostijom ili, obrnuto, složenijom. Ovaj se deo rešavanja zove diskusija (rasprava).
Kod jednostavnih zadataka kod kojih nema sumnje u mogućnost njihovog rešenja analiza i diskusija obično se izostavljaju; vrši se samo konstrukcija i primenjuje se dokaz. Tako je urađeno pri rešavanju prvih sedam zadataka ovog odeljka; tako će se postupati i ubuduće pri rešavanju prostih zadataka.