Prava linija - Konstruktivni zadaci

Zadatak. Konstruisati četvorougao ABCD (sl. 111) kada su poznate sve njegove strane i duž EF što spaja sredine dve suprotne strane.

Da bi se date linije približile jedna drugoj, izvršimo paralelno pomeranje strana AD i BC u položaj ED₁ i EC₁. Tada će DD₁ biti jednaka i paralelna sa AE, a strana CC₁ sa EB; pošto je AE=EB, onda će i DD₁=CC₁ i DD₁||CC₁. Stoga će trouglovi DD₁F i CC₁F biti podudarni (DD₁=CC₁, DF=FC i ∢D₁DF=∢FCC₁); znači, ∢D₁FD=∢CFC₁ i linija D₁FC₁ biće prava linija, tj. slika ED₁FC₁ mora biti trougao. U ovom trouglu poznate su dve strane (ED₁=AD i EC₁=BC) i srednja linija EF prema trećoj strani. Pomoću ovih podataka može lako da se konstruiše trougao ED₁C₁ (ako na produženje srednje linije EF od tačke F prenesemo duž jednaku EF i dobijenu tačku spojimo s D₁ i C₁, onda ćemo dobiti paralelogram kod koga su poznate dve strane i dijagonala). Zatim se vrši konstrukcija trouglova D₁DF i C₁CF i četvorougla ABCD.

Neka učenici pomoću ove metode reše sledeće zadatke:

1. Konstruisati trapez kad je dato: jedan ugao, obe dijagonale i srednja linija.

2. Konstruisati četvorougao kada su poznate tri strane a, b, c i dva ugla α i β koji leže na nepoznatoj strani.

3. Konstruisati trapez kada su poznate sve četiri strane.

102. Metoda simetrije. Osobine osne simetrije takođe se mogu primeniti pri rešavanju konstruktivnih zadataka. Često puta presavijanjem jednog dela slike oko neke prave, tako da ovaj deo zauzme simetričan položaj s druge strane prave, lako dolazimo do načina rešavanja zadatka. Navešćemo primer.

Zadatak. Na pravoj AB (sl. 112) naći tačku h tako da zbir njenih otstojanja od datih tačaka M i N bude najmanji.

Presavijanjem slike oko AB dovodimo tačku M u simetrični položaj M' prema AB. Onda će otstojanje tačke M do ma koje tačke prave AB, biti jednako otstojanju tačke M' od iste tačke prave AB. Prema Tome zbirovi Mx+xN, Mx1+x1N... jednaki su zbirovima M'x+xN, M'x1+x1N..., ali će najmanji zbir biti onda kada je linija M'xN prava. Način konstrukcije postaje potpuno jasan.

Ista konstrukcija rešava i drugi zadatak: na pravoj AB naći takvu tačku h da prave hM i xN, povučene iz te tačke prema datim tačkama M i N, grade s AB jednake uglove.

Neka učenici metodom simetrije reše sledeće zadatke:

1. Konstruisati četvorougao ABCD, kad su poznate sve četiri strane, a da dijagonala AC polovi ugao A.

2. Na pravouglom bilijaru dati su položaji dve lopte A i B. U kome pravcu treba gurnuti loptu A da bi ona posle odbijanja redom od sve četiri ivice pogodila loptu B.

3. Dat je ugao i u njegovoj unutrašnjosti tačka. Konstruisati trougao da ima najmanji obim, a da jedno njegovo teme leži u datoj tački, a dva druga na stranama ugla.