Matematički stavovi

Takva rasuđivanja u geometriji su potrebna za iznalaženje osobina geometrijskih oblika. Stoga je radi daljeg proučavanja korisno da se blagovremeno upoznamo s onim oblicima rasuđivanja koji se primenjuju u geometriji. Sve istine koje se konstatuju u geometriji iskazuju se u vidu stavova.

Ovi stavovi su sledeći:

Definicije. Definicije su stavovi u kojima se objašnjava smisao koji ima ovaj ili onaj naziv ili izraz. Na primer, imali smo definiciju centralnog ugla, pravog ugla, normale i slično.

Aksiome. Aksiome su istine koje se primaju bez dokaza. Takvi su, na primer, stavovi na koje smo nailazili ranije (§4): kroz svake dve tačke može da se povuče prava i to samo jedna; ako dve tačke leže u ravni, onda će i sve tačke prave ležati u toj ravni.

Iznećemo još sledeće aksiome koje se odnose na razne veličine:

• ako su dve veličine jednake trećoj, onda su one jednake među sobom;

• ako jednakim veličinama dodamo jednake veličine, ili od jednakih veličina oduzmemo jednake veličine, onda se jednakost neće poremetiti;

• ako nejednakim veličinama dodamo jednake veličine, ili od nejednakih veličina oduzmemo jednake veličine, onda se smisao nejednakosti neće promeniti, tj. veća količina ostaće veća.

Teoreme. Teoreme su stavovi čija se istinitost utvrđuje tek posle izvesnog rasuđivanja (dokaza). Kao primer mogu da nam posluže sledeći stavovi:

• ako su u jednom krugu ili u jednakim krugovima centralni uglovi jednaki, onda su i odgovarajući lukovi jednaki;

• ako je jedan od četiri ugla što grade dve prave koje se seku prav ugao, onda su i ostala tri ugla prava itd.

Posledice. Posledice su stavovi koje neposredno sleduju iz aksioma ili teorema. Na primer, iz aksiome: „kroz dve tačke - može da se povuče samo jedna prava“, sleduje: „dve prave mogu da se seku samo u jednoj tački“.

Sastav teoreme. U svakoj teoremi se razlikuju dva dela: pretpostavka i zaključak. Pretpostavka izražava ono što se pretpostavlja podacima; zaključak - ono što ima da se dokaže. Na primer u teoremi: „ako su centralni uglovi jednaki, onda su i odgovarajući lukovi jednaki“, kao pretpostavka služi prvi deo teoreme: „ako su centralni uglovi jednaki“, a zaključak drugi deo: „onda su i odgovarajući lukovi jednaki"; drugim rečima, nama je poznato da su centralni uglovi jednaki; a treba dokazati da su pri ovoj pretpostavci i odgovarajući lukovi takođe jednaki.

Pretpostavka i zaključak mogu ponekad da se sastoje iz više posebnih pretpostavaka i zaključaka. Na primer, u teoremi: „ako je broj deljiv sa dva i sa tri, onda je deljiv i sa šest“, pretpostavka ima dva dela: „ ako je broj deljiv sa dva“ i „ako je broj deljiv sa tri“.

Korisno je napomenuti da se svaka teorema može izraziti rečima tako, da pretpostavka počinje rečju „ako“, a zaključak - rečju „onda" (tada). Na primer teorema: „unakrsni uglovi su jednaki" može da se iskaže ovako: ako su uglovi unakrsni, onda su oni jednaki“.

30. Obrnuta teorema

Teorema obrnuta datoj teoremi zove se takva teorema u kojoj je zaključak (ili jedan njegov deo) postao pretpostavka, a pretpostavka (ili jedan njen deo) zaključak. Na primer, ove dve teoreme su obrnute.

• Ako su centralni uglovi jednaki, onda su jednaki i odgovarajući lukovi.

• Ako su lukovi jednaki, onda su jednaki i odgovarajući centralni uglovi.

Ako jednu od njih smatramo kao pravu teoremu, onda će druga biti obrnuta teorema. U ovom primeru su obe teoreme, i prava i obrnuta, tačne. Ali to neće biti uvek. Ha primer teorema: „ako su uglovi unakrsni, onda su oni jednaki" je tačna, ali obrnuti stav: „ako su uglovi jednaki onda, su oni unakrsni" nije tačna. Neka se povuče simetrala jednog ugla (sl. 13). Ona polovi ugao. Ovi uglovi su jednaki ali nisu unakrsni.

31. Suprotna teorema

Teorema čija je pretpostavka odnosno zaključak negacija pretpostavke i zaključka date teoreme zove se suprotna teorema. Na primer, teorema: „ako je zbir cifara jednog broja deljiv sa devet, onda će i broj biti deljiv sa devet“, odgovara kao suprotna teorema: „ako zbir cifara jednog broja nije deljiv sa devet, onda i broj neće biti deljiv sa devet".

I ovde tačnost prave teoreme ne znači tačnost i suprotne teoreme: na primer, suprotan stav: „ako svaki sabirak nije deljiv istim brojem, onda i zbir nije deljiv tim brojem“ nije tačan, dok je pravi stav tačan.

32. Zavisnost između teorema: prave, obrnute i suprotne

Radi boljeg razumevanja ove zavisnosti izrazimo teoreme skraćeno ovako (slovo A označuje pretpostavku, a slovo B zaključak teoreme):

1. Prava: ako postoji A, onda postoji i B.

2. Obrnuta: ako postoji B, onda postoji i A.

3. Suprotna pravoj: ako ne postoji A, onda ne postoji ni B. 

4. Suprotna obrnutoj: ako ne postoji B, onda ne postoji ni A.

Analizirajući ove stavove lako je uočiti da se prvi od njih nalazi u istoj zavisnosti prema četvrtom kao drugi prema trećem, tj. prvi i četvrti stav mogu da se pretvore jedan u drugi, kao i drugi i treći stav. Iz stava: „ako postoji A, onda postoji i B neposredno sleduje: „ako ne postoji B, onda ne postoji ni A“ (pošto ako postoji A, onda po prvom stavu postoji i B); obrnuto, iz stava: „ako ne postoji B, onda ne postoji ni A", neposredno zaključujemo: „ako postoji A, onda postoji B" (pošto kad ne bi bilo B, ne bi postojalo ni A). Na isti način možemo da se uverimo da iz drugog stava sleduje treći i obrnuto.

Na taj način, da bi se dokazala tačnost ove četiri teoreme nema potrebe da se posebno dokazuje svaka od njih. Potpuno je dovoljno dokazati samo dve: pravu i obrnutu, ili pravu i suprotnu.