43. Definicija. Ugao uporedan sa ma kojim uglom trougla (ili mnogougla) zove se spoljašnji ugao ovoga trougla (ili mnogougla).
Takvi su, na primer, uglovi (sl. 48) BCD, CBE, BAF. Za razliku od spoljašnjih uglovi samoga trougla (ili mnogougla) zovu se unutrašnji. Svakom unutrašnjem uglu trougla (ili mnogougla) mogu da se konstruišu po dva spoljašnja ugla, (produženjem strane u oba smisla). Ovi spoljašnji uglovi su jednaki kao unakrsni.
44. Teorema: Spoljašnji ugao trougla veći je od svakog nenaleglog unutrašnjeg ugla.
Na primer, dokažimo da je spoljašnji ∢BCD △ABC (sl. 49) veći od svakog unutrašnjeg ugla A i B.
Kroz sredinu E strane BC povucimo srednju liniju AE i na njeno produženje prenesimo duž EF=AE. Tačka F leži u unutrašnjosti ugla BCD. Spojimo tačke F i C jednom duži. Trouglovi ABE i EFC (osenčeni na slici) su podudarni pošto imaju po jedan jednak ugao između dve jednake odgovarajuće strane. Iz podudarnosti trouglova zaključujemo da su uglovi B i ECF jednaki pošto leže naspram jednakih strana AE i EF. Ali je ugao ECF samo jedan deo spoljašnjeg ugla BCD i stoga je ∢B=∢ECF manji od ugla BCD.
Produženjem strane BC preko temena C dobija se spoljašnji ugao ACN jednak uglu BCD. Ako iz temena B povučemo srednju liniju prema strani AC, onda na isti način može da se dokaže da je ugao A manji od ugla ACN, tj. manji od ugla BCD.
45. Posledica. Ako trougao ima jedan prav ili tup ugao, onda su dva druga ugla oštri.
Neka je u trouglu ABC (sl. 50 i 51) ugao C prav ili tup; tada će uporedni sa njim spoljašnji ugao BCD biti prav ili oštar; prema tome, uglovi A i B koji su manji od ovog spoljašnjeg ugla moraju da budu oštri.